موضوع وطني
National 2015 · SM · session rattrapage
RS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
4 pt(s)
Partie I
الجزء الأول: نزود ℝ بقانون التركيب الداخلي * المعرف بما يلي: (∀(x,y)∈ℝ2) x*y=x+y−exy+1
Partie II
الجزء الثاني: نذكر أن (M2(ℝ),+,×) حلقة غير تبادلية و واحدية وحدتها I=1001 و أن (M2(ℝ),+,·) فضاء متجهي حقيقي و أن (ℂ*,×) زمرة تبادلية. لكل x و y من ℝ، نضع: M(x,y)=x−2yy2x و ليكن F={M(x,y) / (x,y)∈ℝ2}
1. a)بين أن القانون * تبادلي في ℝ0.25
1. b)بين أن القانون * يقبل عنصرا محايدا يتم تحديده.0.5
2.علما أن المعادلة: (E) : 3+x−e2x=0 تقبل في ℝ حلين مختلفين a و b، بين أن القانون * غير تجميعي.0.5
1.بين أن F فضاء متجهي جزئي للفضاء المتجهي الحقيقي (M2(ℝ),+,·)0.5
2.بين أن F جزء مستقر من (M2(ℝ),×)0.5
3. a)نعتبر التطبيق φ من ℂ* نحو F الذي يربط كل عدد عقدي x+iy (حيث x و y عددان حقيقيان) بالمصفوفة M(x,y). بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (F,×)0.5
3. b)نضع: F*=F−{M(0,0)}. بين أن: φ(ℂ*)=F*0.25
3. c)بين أن (F*,×) زمرة تبادلية.0.25
4.بين أن (F,+,×) جسم تبادلي.0.75
Exercice 2 — الحسابيات
3 pt(s)
Partie I
نعتبر في ℤ المعادلة: (E) : x2015≡2 [13]
Partie II
II- نعتبر صندوقا U يحتوي على خمسين (50) كرة مرقمة من 1 إلى 50. (الكرات لا يمكن التمييز بينها باللمس)
1.ليكن a من ℤ. بين أنه إذا كان a و 13 أوليان فيما بينهما فإن: a2016≡1 [13]0.5
2. a)نعتبر في ℤ المعادلة: (E) : x2015≡2 [13] وليكن x حلا للمعادلة (E). بين أن x و 13 أوليان فيما بينهما.0.5
2. b)بين أن: x≡7 [13]0.5
3.بين أن مجموعة حلول المعادلة (E) هي: S={7+13k / k∈ℤ}0.5
1.نسحب عشوائيا كرة من الصندوق. ما هو احتمال الحصول على كرة تحمل رقما يكون حلا للمعادلة (E) ؟0.5
2.نسحب عشوائيا كرة من الصندوق، نسجل رقمها ثم نعيدها إلى الصندوق. نكرر هذه التجربة ثلاث مرات. ما هو احتمال الحصول مرتين بالضبط على كرة تحمل رقما يكون حلا للمعادلة (E) ؟0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة التالية: (E) : z2−(1+i)z+2+2i=0. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد و ممنظم و مباشر. نعتبر النقطة A التي لحقها z1 و B النقطة التي لحقها z2
1. a)تحقق أن (1−3i)2 هو مميز المعادلة (E)0.25
1. b)حدد z1 و z2 حلي المعادلة (E) في المجموعة ℂ (نأخذ z1 تخيلي صرف)0.5
1. c)بين أن: z1z2=√2 ei3π40.5
2. a)حدد العدد العقدي e لحق النقطة E منتصف القطعة [AB]0.25
2. b)ليكن r الدوران الذي مركزه A وقياس زاويته (−π2) وليكن c لحق النقطة C صورة النقطة E بالدوران r. بين أن: c=−32+32i0.5
2. c)نعتبر D النقطة ذات اللحق d=1+32i. بين أن العدد (z2−dc−d)×(c−z1z2−z1) حقيقي ثم أول هندسيا النتيجة المحصل عليها.1
Exercice 4 — التحليل
6 pt(s)
ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم. نعتبر الدالة العددية fn للمتغير الحقيقي x المعرفة على ℝ بما يلي: fn(x)=11+e−32(x−n) و ليكن (Cn) المنحنى الممثل للدالة fn في معلم متعامد و ممنظم (O,i,j).
1. a)أحسب limx→+∞fn(x) و limx→−∞fn(x) ثم أول مبيانيا النتيجتين المحصل عليهما.0.75
1. b)بين أن الدالة fn قابلة للاشتقاق على ℝ ثم أحسب fn′(x) لكل x من ℝ0.75
1. c)بين أن الدالة fn تزايدية قطعا على ℝ0.25
2. a)بين أن النقطة In(n,12) مركز تماثل للمنحنى (Cn)0.5
2. b)أنشئ المنحنى (C1).0.5
2. c)أحسب مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى (C1) و المستقيمات: x=0 و x=1 و y=00.75
3. a)لكل n من ℕ*، بين أن المعادلة: fn(x)=x تقبل حلا وحيدا un في المجال ]0,n[0.75
3. b)بين أن: (∀n∈ℕ*)(∀x∈ℝ) fn+1(x)<fn(x)0.5
3. c)بين أن المتتالية (un)n≥1 تناقصية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة.0.75
3. d)احسب limn→+∞un0.5
Exercice 5 — التحليل
4 pt(s)
نعتبر الدالة العددية g المعرفة على ℝ* بما يلي: g(x)=∫x3xcos tt dt
1.بين أن الدالة g زوجية.0.5
2.بين أن الدالة g قابلة للاشتقاق على ]0,+∞[ ثم أحسب g′(x) من أجل x>00.75
3. a)باستعمال مكاملة بالأجزاء، تحقق أن: (∀x>0) ∫x3xcos tt dt=sin 3x−3sin x3x+∫x3xsin tt2 dt0.5
3. b)بين أنه لكل x من المجال ]0,+∞[ لدينا: |g(x)|≤2x ثم استنتج limx→+∞g(x)0.75
4. a)بين أن: (∀x>0) 0≤∫x3x1−cos tt dt≤2x (لاحظ أن: (∀t>0) 1−cos t≤t)0.5
4. b)تحقق أن: (∀x>0) g(x)−ln 3=∫x3xcos t−1t dt0.5
4. c)استنتج: limx→0+g(x)0.5