Sujet national
National 2015 · SM · session normale
NS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère dans l'ensemble ℂ l'équation suivante : (E) : z2−(5+i√3)z+4+4i√3=0. Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. On note a et b les deux solutions de (E), A le point d'affixe a et B le point d'affixe b.
1. a)Vérifier que (3−i√3)2 est le discriminant de l'équation (E).0.25
1. b)Déterminer a et b les deux solutions de l'équation (E) (sachant que b∈ℝ).0.5
1. c)Vérifier que b=(1−i√3)a.0.25
2. a)Déterminer b1 l'affixe du point B1 image du point O par la rotation de centre A et d'angle π2.0.5
2. b)Montrer que B est l'image de B1 par l'homothétie de centre A et de rapport √3.0.5
2. c)Vérifier que arg(bb−a)≡π6 [2π].0.5
2. d)Soit C un point, d'affixe c, appartenant au cercle circonscrit au triangle OAB et différent de O et de A. Déterminer un argument du nombre complexe cc−a.0.5
Exercice 2 — Arithmétique
3 pt(s)
Soit x un nombre entier relatif tel que x1439≡1436 [2015].
1.Sachant que 1436×1051−2015×749=1, montrer que 1436 et 2015 sont premiers entre eux.0.25
2. a)Soit d un diviseur commun de x et de 2015. Montrer que d divise 1436.0.5
2. b)En déduire que x et 2015 sont premiers entre eux.0.5
3. a)En utilisant le théorème de Fermat, montrer que : x1440≡1 [5] et x1440≡1 [13] et x1440≡1 [31] (remarquer que 2015=5×13×31).0.75
3. b)Montrer que x1440≡1 [65] et en déduire que x1440≡1 [2015].0.5
4.Montrer que x≡1051 [2015].0.5
Exercice 3 — Structures algébriques
4 pt(s)
On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire dont l'unité est I=1001, et que (ℝ,+) est un groupe commutatif. Pour tout nombre réel x, on pose M(x)=1−xx−2x1+2x et on considère l'ensemble E={M(x) / x∈ℝ}. On munit E de la loi de composition interne T définie par : (∀(x,y)∈ℝ2) M(x) T M(y)=M(x+y+1).
1. a)Soit φ l'application de ℝ dans E définie par : (∀x∈ℝ) φ(x)=M(x−1). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℝ,+) vers (E,T).0.5
1. b)Montrer que (E,T) est un groupe commutatif.0.5
2. a)Montrer que : (∀(x,y)∈ℝ2) M(x)×M(y)=M(x+y+xy).0.5
2. b)En déduire que E est une partie stable de (M2(ℝ),×) et que la loi « × » est commutative dans E.0.5
2. c)Montrer que la loi « × » est distributive par rapport à la loi « T » dans E.0.5
2. d)Vérifier que M(−1) est l'élément neutre dans (E,T) et que I est l'élément neutre dans (E,×).0.5
3. a)Vérifier que : (∀x∈ℝ−{−1}) M(x)×M(−x1+x)=I.0.25
3. b)Montrer que (E,T,×) est un corps commutatif.0.75
Exercice 4 — Analyse
6.5 pt(s)
Partie I
Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle [0,+∞[ par :f(x)=x(1+ln2x)si x>00si x=0.Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).
Partie II
On considère la suite numérique (un)n≥0 définie par u0=e−1 et (∀n∈ℕ) un+1=f(un).
Partie III
Soit F la fonction numérique définie sur l'intervalle [0,+∞[ par F(x)=∫1xf(t) dt.
1.Calculer limx→+∞f(x) et limx→+∞f(x)x puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. a)Montrer que la fonction f est continue à droite en 0.0.25
2. b)Calculer limx→0+f(x)x puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.0.5
2. c)Calculer f′(x) pour x>0, en déduire que f est strictement croissante sur [0,+∞[.0.5
3. a)Montrer que la courbe (C) admet un point d'inflexion I d'abscisse e−1.0.25
3. b)Étudier la position relative de la courbe (C) par rapport à la droite d'équation y=x.0.25
3. c)Tracer la courbe (C). (On prendra e−1=0,4.)0.5
1.Montrer par récurrence que : (∀n∈ℕ) e−1≤un<1.0.5
2.Montrer que la suite (un)n≥0 est strictement croissante, en déduire qu'elle est convergente.0.5
3. a)On pose limn→+∞un=l. Montrer que e−1≤l≤1.0.25
3. b)Déterminer la valeur de l.0.5
1. a)Montrer que la fonction H:x↦−14x2+12x2ln x est une primitive de la fonction h:x↦xln x sur l'intervalle ]0,+∞[.0.25
1. b)Montrer que : (∀x>0) ∫1xtln2(t) dt=x22ln2(x)−∫1xtln(t) dt.0.5
1. c)En déduire que : (∀x>0) F(x)=−34+3x24−x22ln(x)+x22ln2(x).0.5
2. a)Montrer que la fonction F est continue sur l'intervalle [0,+∞[.0.25
2. b)Calculer limx→0+F(x), en déduire la valeur de l'intégrale ∫01f(x) dx.0.5
Exercice 5 — Analyse
3.5 pt(s)
On considère la fonction numérique g définie sur l'intervalle [0,+∞[ par :g(x)=∫x2xe−tt dtsi x>0ln 2si x=0.
1. a)Montrer que : (∀x>0) (∀t∈[x,2x]) e−2x≤e−t≤e−x.0.5
1. b)Montrer que : (∀x>0) e−2xln 2≤g(x)≤e−xln 2.0.5
1. c)En déduire que la fonction g est continue à droite en 0.0.25
2.Montrer que la fonction g est dérivable sur l'intervalle ]0,+∞[, puis calculer g′(x) pour x>0.0.75
3. a)Montrer que : (∀t>0) −1≤e−t−1t≤−e−t. (On pourra utiliser le théorème des accroissements finis.)0.5
3. b)Montrer que : (∀x>0) −1≤g(x)−ln 2x≤e−2x−e−xx.0.5
3. c)En déduire que la fonction g est dérivable à droite en 0.0.5