موضوع وطني
National 2015 · SM · session normale
NS 25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة التالية : (E) : z2−(5+i√3)z+4+4i√3=0. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد و ممنظم و مباشر. لتكن A النقطة التي لحقها a و B النقطة التي لحقها b
1. a)تحقق أن (3−i√3)2 هو مميز المعادلة (E)0.25
1. b)حدد a و b حلي المعادلة (E) (علما أن : b∈ℝ)0.5
1. c)تحقق أن : b=(1−i√3)a0.25
2. a)حدد العدد العقدي b1 لحق النقطة B1 صورة النقطة O بالدوران الذي مركزه A و زاويته π20.5
2. b)بين أن B هي صورة B1 بالتحاكي الذي مركزه A و نسبته √30.5
2. c)تحقق أن : arg(bb−a)≡π6 [2π]0.5
2. d)لتكن C نقطة ، لحقها c ، تنتمي إلى الدائرة المحيطة بالمثلث OAB وتخالف O و A . حدد عمدة للعدد العقدي cc−a0.5
Exercice 2 — الحسابيات
3 pt(s)
ليكن x عددا صحيحا نسبيا بحيث : x1439≡1436 [2015]
1.علما أن : 1436×1051−2015×749=1 ، بين أن 1436 و 2015 أوليان فيما بينهما.0.25
2. a)ليكن d قاسما مشتركا للعددين x و 2015 . بين أن d يقسم 14360.5
2. b)استنتج أن x و 2015 أوليان فيما بينهما.0.5
3. a)باستعمال مبرهنة فيرما بين أن : x1440≡1 [5] و x1440≡1 [13] و x1440≡1 [31] ( لاحظ أن : 2015=5×13×31 )0.75
3. b)بين أن : x1440≡1 [65] ثم استنتج أن : x1440≡1 [2015]0.5
4.بين أن : x≡1051 [2015]0.5
Exercice 3 — البنيات الجبرية
4 pt(s)
نذكر أن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية وحدتها I=1001 و أن (ℝ,+) زمرة تبادلية. لكل عدد حقيقي x نضع : M(x)=1−xx−2x1+2x و نعتبر المجموعة E={M(x) / x∈ℝ} . نزود E بقانون التركيب الداخلي T المعرف بما يلي : (∀(x,y)∈ℝ2) M(x) T M(y)=M(x+y+1)
1. a)ليكن φ التطبيق من ℝ نحو E المعرف بما يلي : φ(x)=M(x−1) (∀x∈ℝ) . بين أن φ تشاكل من (ℝ,+) نحو (E,T)0.5
1. b)بين أن (E,T) زمرة تبادلية.0.5
2. a)بين أن : (∀(x,y)∈ℝ2) M(x)×M(y)=M(x+y+xy)0.5
2. b)استنتج أن E جزء مستقر من (M2(ℝ),×) و أن القانون « × » تبادلي في E0.5
2. c)بين أن القانون « × » توزيعي بالنسبة للقانون « T » في E .0.5
2. d)تحقق أن M(−1) هو العنصر المحايد في (E,T) و أن I هو العنصر المحايد في (E,×) .0.5
3. a)تحقق أن : M(x)×M(−x1+x)=I (∀x∈ℝ−{−1})0.25
3. b)بين أن (E,T,×) جسم تبادلي.0.75
Exercice 4 — التحليل
6.5 pt(s)
Partie I
الجزء الأول : لتكن f الدالة العددية المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي : f(0)=0 و f(x)=x(1+ln2x) إذا كان x>0 . ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد و ممنظم (O,i,j) .
Partie II
الجزء الثاني : نعتبر المتتالية العددية (un)n≥0 المعرفة بما يلي : u0=e−1 و un+1=f(un) (∀n∈ℕ)
Partie III
الجزء الثالث : لتكن F الدالة العددية المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي : F(x)=∫1xf(t) dt
1.أحسب : limx→+∞f(x) و limx→+∞f(x)x ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
2. a)بين أن الدالة f متصلة على اليمين في 00.25
2. b)أحسب limx→0+f(x)x ثم أول مبيانيا النتيجة المحصل عليها.0.5
2. c)أحسب f′(x) من أجل x>0 ثم استنتج أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال [0,+∞[0.5
3. a)بين أن المنحنى (C) يقبل نقطة انعطاف I أفصولها e−1 .0.25
3. b)أدرس الوضع النسبي للمنحنى (C) بالنسبة للمستقيم الذي معادلته : y=x0.25
3. c)أنشئ المنحنى (C) . (نأخذ : e−1=0,4)0.5
1.بين بالترجع أن : e−1≤un<1 (∀n∈ℕ)0.5
2.بين أن المتتالية (un)n≥0 تزايدية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة.0.5
3. a)نضع : limn→+∞un=l . بين أن : e−1≤l≤10.25
3. b)حدد قيمة l0.5
1. a)بين أن الدالة : H:x↦−14x2+12x2ln x دالة أصلية للدالة : h:x↦xln x على المجال ]0,+∞[0.25
1. b)بين أن : (∀x>0) ∫1xtln2(t) dt=x22ln2(x)−∫1xtln(t) dt0.5
1. c)استنتج أن : (∀x>0) F(x)=−34+3x24−x22ln(x)+x22ln2(x)0.5
2. a)بين أن الدالة F متصلة على المجال [0,+∞[0.25
2. b)أحسب limx→0+F(x) ثم استنتج قيمة التكامل ∫01f(x) dx0.5
Exercice 5 — التحليل
3.5 pt(s)
نعتبر الدالة g المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي : g(0)=ln 2 و g(x)=∫x2xe−tt dt إذا كان x>0
1. a)بين أن : (∀x>0) (∀t∈[x,2x]) e−2x≤e−t≤e−x0.5
1. b)بين أن : e−2xln 2≤g(x)≤e−xln 2 (∀x>0)0.5
1. c)استنتج أن الدالة g متصلة على اليمين في 0 .0.25
2.بين أن الدالة g قابلة للاشتقاق على المجال ]0,+∞[ ثم أحسب g′(x) من أجل x>00.75
3. a)بين أن : −1≤e−t−1t≤−e−t (∀t>0) ( يمكنك استعمال مبرهنة التزايدات المنتهية )0.5
3. b)بين أن : −1≤g(x)−ln 2x≤e−2x−e−xx (∀x>0)0.5
3. c)استنتج أن الدالة g قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 .0.5