Sujet national
National 2014 · SM · session rattrapage
RS 24 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Calcul des probabilités
2 pt(s)
On considère trois boîtes U, V et W. La boîte W contient une boule noire et deux boules blanches, et chacune des deux boîtes U et V contient deux boules noires et deux boules blanches. On effectue l'expérience suivante : on tire une boule de la boîte W. Si cette boule est blanche, on la met dans la boîte U puis on tire simultanément deux boules de cette boîte ; si en revanche cette boule est noire, on la met dans la boîte V puis on tire simultanément deux boules de cette boîte.
1.Quelle est la probabilité que le tirage se fasse dans la boîte U ?0.25
2.Quelle est la probabilité d'obtenir deux boules blanches à la fin de l'expérience ?0.75
3.Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à la fin de l'expérience. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.1
Exercice 2 — Arithmétique
1 pt(s)
Soit n un entier naturel non nul. On pose : bn=2×10n+1 et cn=2×10n−1. (On note a∧b le plus grand commun diviseur des deux entiers a et b.)
1.Montrer que : bn∧cn=cn∧2, puis en déduire que bn et cn sont premiers entre eux.0.5
2.Déterminer un couple (xn,yn) de ℤ2 vérifiant : bnxn+cnyn=1.0.5
Exercice 3 — Structures algébriques
3.75 pt(s)
Partie I
On pose J=]−1,1[. Première partie. Pour tous éléments a et b de l'intervalle J, on pose : a*b=a+b1+ab.
Partie II
Deuxième partie. On considère l'application f définie sur ℝ par : f(x)=ex−1ex+1. L'intervalle J=]−1,1[ et la loi * sont ceux de la première partie.
1.Vérifier que : (∀(a,b)∈J2) 1+ab>0, puis en déduire que * est une loi de composition interne dans J.0.75
2. a)Montrer que la loi * est commutative et associative.0.5
2. b)Montrer que (J,*) admet un élément neutre que l'on déterminera.0.25
2. c)Montrer que (J,*) est un groupe commutatif.0.5
1.Montrer que la fonction f est une bijection de ℝ vers J.0.75
2.Soit g la bijection réciproque de l'application f (la détermination de g n'est pas demandée). Pour tous éléments x et y de J, on pose : x⊥y=f(g(x)×g(y)). Montrer que f est un homomorphisme de (ℝ*,×) vers (J*,⊥), où : J*=J−{0}.0.5
3.On rappelle que (ℝ*,×) est un groupe commutatif, et on admet que la loi ⊥ est distributive par rapport à la loi * dans J. Montrer que (J,*,⊥) est un corps commutatif.0.5
Exercice 4 — Nombres complexes
3.25 pt(s)
Partie I
Première partie. On considère dans ℂ l'équation z2+i=0, et on note a celle de ses solutions qui vérifie Re(a)>0.
Partie II
Deuxième partie. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, M et M′ dont les affixes sont respectivement a, −a, z et z′, où a est le nombre complexe de la première partie, et on suppose que : zz′+i=0.
1.Résoudre dans ℂ l'équation : z2+i=0 (a désigne la solution de l'équation telle que : Re(a)>0).0.5
2. a)Déterminer le module et un argument du nombre complexe 1+a.0.5
2. b)En déduire que : cosπ8=√2+√22.0.25
2. c)Vérifier que : (1+a)(1−a)=1+i, puis en déduire la forme trigonométrique du nombre 1−a.0.5
1.Soit N le point d'affixe z, conjugué de z. Montrer que les droites (ON) et (OM′) sont perpendiculaires.0.25
2. a)Montrer que : z′−a=i z−aaz.0.25
2. b)Montrer que si z≠−a alors : z′≠−a et z′−az′+a=−z−az+a.0.5
3.On suppose que les points A, B et M ne sont pas alignés. Montrer que le point M′ appartient au cercle circonscrit au triangle ABM.0.5
Exercice 5 — Analyse
7.5 pt(s)
Partie I
Première partie. Soit f la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par : f(x)=−ln x√x. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) tel que : ‖i‖=1 cm.
Partie II
Deuxième partie. La fonction f et la courbe (C) sont celles de la première partie : f(x)=−ln x√x sur ]0,+∞[, et le repère (O,i,j) est orthonormé avec ‖i‖=1 cm.
1.Calculer limx→0+f(x) et limx→+∞f(x), puis donner une interprétation géométrique des deux résultats obtenus.1
2.Calculer f′(x) puis en déduire les variations de la fonction f sur l'intervalle ]0,+∞[.0.75
3. a)Pour tout n de ℕ*, on considère la fonction numérique gn définie sur ]0,1[ par : gn(x)=f(x)−xn. Montrer que la fonction gn est strictement décroissante sur l'intervalle ]0,1[.0.25
3. b)En déduire que pour tout n de ℕ*, il existe un unique réel αn de l'intervalle ]0,1[ tel que : f(αn)=(αn)n.0.5
3. c)Montrer que pour tout n de ℕ* on a : gn(αn+1)<0.0.5
3. d)Montrer que la suite (αn)n≥1 est strictement croissante, puis en déduire qu'elle est convergente.0.75
4. a)On pose l=limn→+∞αn. Vérifier que : 0<α1≤l≤1.0.25
4. b)Vérifier que : h(αn)=n (∀n∈ℕ*), où : h(x)=−12+ln(−ln(x))ln x.0.25
4. c)Montrer que : l=1.0.5
4. d)En déduire que : limn→+∞(αn)n=0.0.25
1. a)Étudier le signe de l'intégrale ∫x1f(x) dx pour tout x de ℝ*+.0.25
1. b)En utilisant la méthode d'intégration par parties, montrer que : ∫x1f(x) dx=4−4√x+2√xln x (∀x∈ℝ*+).0.5
1. c)En déduire, en unité de cm2, l'aire de la portion de plan délimitée par la courbe (C) et les droites d'équations respectives : x=1, x=e2 et y=0.0.25
2. a)Pour tout entier naturel non nul n, on pose : un=1nk=n∑k=1f(kn). Montrer que pour tous entiers naturels n et k tels que n≥2 et 1≤k≤n−1 on a : 1nf(k+1n)≤∫knk+1nf(x) dx≤1nf(kn).0.5
2. b)Montrer que : ∫1n1f(t) dt≤un≤1nf(1n)+∫1n1f(t) dt (∀n∈ℕ*).0.5
2. c)En déduire que : limn→+∞un=4.0.5
Exercice 6 — Analyse
2.5 pt(s)
On considère la fonction numérique g définie sur l'intervalle [0,+∞[ par : g(x)=∫√x1e−t2 dt.
1. a)Pour tout x de ℝ, on pose : k(x)=∫1xe−t2 dt. Vérifier que pour tout x de l'intervalle [0,+∞[ on a : g(x)=−k(√x).0.25
1. b)Montrer que la fonction g est continue sur [0,+∞[ et dérivable sur ]0,+∞[.0.5
1. c)Calculer g′(x) pour tout x de ]0,+∞[, puis en déduire que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle [0,+∞[.0.5
2. a)Montrer que : g(x)−g(0)x<−12√xe−x (∀x∈ℝ*+).0.75
2. b)En déduire que la fonction g n'est pas dérivable à droite en 0, et donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.0.5