موضوع وطني
National 2014 · SM · session rattrapage
RS 24 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — حساب الاحتمالات
2 pt(s)
نعتبر ثلاثة صناديق U و V و W. يحتوي الصندوق W على كرة سوداء و كرتين بيضاوين و يحتوي كل صندوق من الصندوقين U و V على كرتين سوداوين و كرتين بيضاوين. نقوم بالتجربة التالية : نسحب كرة من الصندوق W. إذا كانت هذه الكرة بيضاء نضعها في الصندوق U ثم نسحب منه تآنيا كرتين ، أما إذا كانت هذه الكرة سوداء فنضعها في الصندوق V ثم نسحب منه تآنيا كرتين.
1.ما هو احتمال أن يتم السحب من الصندوق U ؟0.25
2.ما هو احتمال الحصول على كرتين بيضاوين في نهاية التجربة؟0.75
3.ليكن X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الكرات البيضاء المحصل عليها في نهاية التجربة. حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X.1
Exercice 2 — الحسابيات
1 pt(s)
ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم. نضع: bn=2×10n+1 و cn=2×10n−1.
1.بين أن: bn∧cn=cn∧2 ثم استنتج أن bn و cn أوليان فيما بينهما. (a∧b هو القاسم المشترك الأكبر للعددين الصحيحين a و b).0.5
2.أوجد زوجا (xn,yn) من ℤ2 يحقق: bnxn+cnyn=1.0.5
Exercice 3 — البنيات الجبرية
3.75 pt(s)
Partie I
نضع J=]−1,1[. I- لكل عنصرين a و b من المجال J ، نضع: a*b=a+b1+ab.
Partie II
II – نعتبر التطبيق f المعرف على ℝ بما يلي: f(x)=ex−1ex+1.
1.تحقق أن: (∀(a,b)∈J2) 1+ab>0 ثم استنتج أن * قانون تركيب داخلي في J.0.75
2. a)بين أن القانون * تبادلي و تجميعي.0.5
2. b)بين أن (J,*) يقبل عنصرا محايدا يتم تحديده.0.25
2. c)بين أن (J,*) زمرة تبادلية.0.5
1.بين أن الدالة f تقابل من ℝ نحو J.0.75
2.ليكن g التقابل العكسي للتطبيق f (تحديد g غير مطلوب). لكل عنصرين x و y من J نضع: x⊥y=f(g(x)×g(y)). بين أن f تشاكل من (ℝ*,×) نحو (J*,⊥) حيث: J*=J−{0}.0.5
3.نذكر أن (ℝ*,×) زمرة تبادلية، ونقبل أن القانون ⊥ توزيعي بالنسبة للقانون * في J. بين أن (J,*,⊥) جسم تبادلي.0.5
Exercice 4 — الأعداد العقدية
3.25 pt(s)
Partie II
II - في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر (O,u,v) ، نعتبر النقط A و B و M و M′ التي ألحاقها على التوالي هي a و −a و z و z′ و نفترض أن: zz′+i=0.
1.حل في ℂ المعادلة: z2+i=0 (a يرمز لحل المعادلة بحيث: Re(a)>0).0.5
2. a)حدد معيار و عمدة العدد العقدي 1+a.0.5
2. b)استنتج أن: cosπ8=√2+√22.0.25
2. c)تحقق أن: (1+a)(1−a)=1+i ثم استنتج الشكل المثلثي للعدد 1−a.0.5
1.لتكن N النقطة التي لحقها z مرافق z. بين أن المستقيمين (ON) و (OM′) متعامدان.0.25
2. a)بين أن: z′−a=i z−aaz.0.25
2. b)بين أنه إذا كان z≠−a فإن: z′≠−a و z′−az′+a=−z−az+a.0.5
3.نفترض أن النقط A و B و M غير مستقيمية. بين أن النقطة M′ تنتمي إلى الدائرة المحيطة بالمثلث ABM.0.5
Exercice 5 — التحليل
7.5 pt(s)
Partie I
I - لتكن f الدالة العددية المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي: f(x)=−ln x√x وليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) بحيث: ‖i‖=1cm.
1.أحسب limx→0+f(x) و limx→+∞f(x) ثم أعط تأويلا هندسيا للنتيجتين المحصل عليهما.1
2.أحسب f′(x) ثم استنتج تغيرات الدالة f على المجال ]0,+∞[.0.75
3. a)لكل n من ℕ* نعتبر الدالة العددية gn المعرفة على ]0,1[ بما يلي: gn(x)=f(x)−xn. بين أن الدالة gn تناقصية قطعا على المجال ]0,1[.0.25
3. b)استنتج أنه لكل n من ℕ*، يوجد عدد حقيقي وحيد αn من المجال ]0,1[ بحيث: f(αn)=(αn)n.0.5
3. c)بين أن لكل n من ℕ* لدينا: gn(αn+1)<0.0.5
3. d)بين أن المتتالية (αn)n≥1 تزايدية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة.0.75
4. a)نضع l=limn→+∞αn. تحقق أن: 0<α1≤l≤1.0.25
4. b)تحقق أن: h(αn)=n (∀n∈ℕ*) حيث: h(x)=−12+ln(−ln(x))ln x.0.25
4. c)بين أن: l=1.0.5
4. d)استنتج أن: limn→+∞(αn)n=0.0.25
1. a)أدرس إشارة التكامل ∫x1f(x) dx لكل x من ℝ*+.0.25
1. b)باستعمال طريقة المكاملة بالأجزاء بين أن: ∫x1f(x) dx=4−4√x+2√xln x (∀x∈ℝ*+).0.5
1. c)أستنتج بالوحدة cm2 مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى (C) و المستقيمات التي معادلاتها على التوالي: x=1 و x=e2 و y=0.0.25
2. a)لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع: un=1nk=n∑k=1f(kn). بين أنه لكل عددين صحيحين طبيعيين n و k بحيث n≥2 و 1≤k≤n−1 لدينا: 1nf(k+1n)≤∫knk+1nf(x) dx≤1nf(kn).0.5
2. b)بين أن: ∫1n1f(t) dt≤un≤1nf(1n)+∫1n1f(t) dt (∀n∈ℕ*).0.5
2. c)استنتج أن: limn→+∞un=4.0.5
Exercice 6 — التحليل
2.5 pt(s)
نعتبر الدالة العددية g المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي: g(x)=∫√x1e−t2 dt.
1. a)لكل x من ℝ، نضع: k(x)=∫1xe−t2 dt. تحقق أنه لكل x من المجال [0,+∞[ لدينا: g(x)=−k(√x).0.25
1. b)بين أن الدالة g متصلة على [0,+∞[ وقابلة للاشتقاق على ]0,+∞[.0.5
1. c)احسب g′(x) لكل x من ]0,+∞[ ثم استنتج أن الدالة g تناقصية قطعا على المجال [0,+∞[.0.5
2. a)بين أن: g(x)−g(0)x<−12√xe−x (∀x∈ℝ*+).0.75
2. b)استنتج أن الدالة g غير قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 و أعط تأويلا هندسيا للنتيجة المحصل عليها.0.5