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Sujet national
National 2014 · SM · session normale
Exercice 1 — Arithmétique
3 pt(s)Pour tout n de ℕ*, on pose : an=333…3n fois1 (n fois le chiffre 3).
1.Vérifier que les deux nombres a1 et a2 sont premiers.0.5
2.Montrer que pour tout n de ℕ* : 3an+7=10n+1.0.5
3.Montrer que pour tout k de ℕ : 1030k+2≡7 [31].0.75
4.Montrer que pour tout k de ℕ : 3a30k+1≡0 [31], puis en déduire que : 31 divise a30k+1.0.75
5.Montrer que pour tout n de ℕ*, si n≡1 [30] alors l'équation anx+31y=1 n'admet pas de solutions dans ℤ2.0.5
Exercice 2 — Structures algébriques
3.5 pt(s)On rappelle que (ℝ,+,×) est un corps commutatif et que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire de zéro O=0000 et d'unité I=1001. Pour tout a et b de ℝ, on pose : M(a,b)=aa−bba+b et on considère l'ensemble E={M(a,b) / (a,b)∈ℝ2}.
1.Montrer que E est un sous-groupe du groupe (M2(ℝ),+).0.5
2.Calculer J2=J×J sachant que J=1101, puis en déduire que E n'est pas stable dans (M2(ℝ),×).0.75
3. a)On définit sur M2(ℝ) la loi de composition interne * par : A*B=A×N×B avec N=1−101. On considère l'application φ de ℂ* vers M2(ℝ) qui associe à chaque nombre complexe non nul a+ib (a et b étant deux nombres réels) la matrice M(a,b). Montrer que φ est un homomorphisme de (ℂ*,×) vers (M2(ℝ),*).0.5
3. b)On pose : E*=E−{O}. Montrer que : φ(ℂ*)=E*.0.25
3. c)Montrer que (E*,*) est un groupe commutatif.0.5
4.Montrer que : (∀(A,B,C)∈E3) A*(B+C)=A*B+A*C.0.5
5.En déduire de ce qui précède que (E,+,*) est un corps commutatif.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3.5 pt(s)Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). Soit θ un nombre réel tel que : θ∈[0,π2[−{π4}.
1. a)On considère dans ℂ l'équation suivante : (E) z2−√2eiθz+e2iθ=0. Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : Δ=(√2ieiθ)2.0.25
1. b)Écrire sous forme trigonométrique les deux racines z1 et z2 de l'équation (E) dans ℂ.0.75
2. a)On considère les points I, J, T1, T2 et A d'affixes respectives 1, −1, ei(θ+π4), ei(θ−π4) et √2eiθ. Montrer que les deux droites (OA) et (T1T2) sont perpendiculaires.0.5
2. b)Soit K le milieu du segment [T1T2]. Montrer que les points O, K et A sont alignés.0.25
2. c)En déduire que la droite (OA) est la médiatrice du segment [T1T2].0.25
3. a)Soit r la rotation de centre T1 et d'angle π2. Donner l'expression complexe de la rotation r.0.25
3. b)Vérifier que l'affixe du point B image du point I par la rotation r est : b=√2eiθ+i.0.5
3. c)Montrer que les deux droites (AB) et (IJ) sont perpendiculaires.0.25
4.Déterminer l'affixe du point C image du point A par la translation de vecteur (−v).0.25
5.Montrer que A est le milieu du segment [BC].0.25
Exercice 4 — Analyse
8 pt(s)Partie I
I — On considère la fonction f définie sur [0,+∞[ par : f(x)=−xln x1+x2 ; x>0f(0)=0
Partie II
II — On considère la fonction F définie sur [0,+∞[ par : F(x)=∫0xf(t) dt et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1. a)Montrer que f est continue sur [0,+∞[.0.5
1. b)Étudier le signe de f(x) sur [0,+∞[.0.25
2. a)Montrer que : (∀x∈ℝ*+) f(1x)=−f(x).0.25
2. b)Montrer que la fonction f est dérivable sur ]0,+∞[.0.25
2. c)Montrer que : (∃α∈]0,1[) f′(α)=0.0.5
2. d)En déduire que : f′(1α)=0.0.5
1. a)Vérifier que : (∀t∈[1,+∞[) 12≤t21+t2≤1.0.5
1. b)Montrer que : (∀x∈[1,+∞[) F(1)−12(ln x)2≤F(x)≤F(1)−14(ln x)2 (on remarquera que : F(x)=∫01f(t) dt−∫1xt21+t2·ln tt dt).1
1. c)Calculer limx→+∞F(x) et limx→+∞F(x)x puis donner une interprétation géométrique du résultat obtenu.1
2. a)Montrer que F est dérivable sur [0,+∞[ puis calculer F′(x).0.5
2. b)Étudier les variations de F sur [0,+∞[.0.25
1. a)Montrer que : (∀t∈]0,+∞[) −tln t≤1e.0.5
1. b)En déduire que : (∀t∈[0,+∞[) f(t)≤1e.0.25
1. c)Montrer que : (∀x∈]0,+∞[) F(x)<x.0.25
2. a)On considère la suite (un)n≥0 définie par : u0∈]0,1[ et (∀n∈ℕ) un+1=F(un). Montrer que : (∀n∈ℕ) un∈]0,1[.0.5
2. b)Montrer que la suite (un)n≥0 est strictement décroissante et en déduire qu'elle est convergente.0.5
2. c)Déterminer limn→+∞un.0.5
Exercice 5 — Analyse
2 pt(s)On considère la fonction g définie sur [0,+∞[ par : g(x)=1x2e−1x ; x>0g(0)=0
1.Montrer que g est continue sur [0,+∞[.0.5
2. a)Pour tout réel x de l'intervalle [0,+∞[ on pose : L(x)=∫x1g(t) dt. Montrer que L est continue sur [0,+∞[.0.25
2. b)Calculer L(x) pour x>0.0.25
2. c)Calculer limx→0+L(x) et en déduire la valeur de L(0).0.5
3.Pour tout entier naturel non nul n, on pose : sn=1np=n−1∑p=0g(pn). Montrer que la suite (sn)n≥1 est convergente puis déterminer sa limite.0.5
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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