fhamtha.ma › المواضيع › National 2014 · SM · session normale
موضوع وطني
National 2014 · SM · session normale
Exercice 1 — الحسابيات
3 pt(s)لكل n من ℕ* نضع : an=333…3n fois1 ( n مرة الرقم 3 )
1.تحقق أن العددين a1 و a2 أوليان.0.5
2.بين أن لكل n من ℕ* : 3an+7=10n+10.5
3.بين أن لكل k من ℕ : 1030k+2≡7 [31]0.75
4.بين أن لكل k من ℕ : 3a30k+1≡0 [31] ، ثم استنتج أن 31 يقسم a30k+10.75
5.بين أنه لكل n من ℕ* ، إذا كان n≡1 [30] فإن المعادلة anx+31y=1 لا تقبل حلولا في ℤ20.5
Exercice 2 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)نذكر أن (ℝ,+,×) جسم تبادلي و أن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية صفرها O=0000 و وحدتها I=1001. لكل a و b من ℝ ، نضع : M(a,b)=aa−bba+b ونعتبر المجموعة : E={M(a,b) / (a,b)∈ℝ2}
1.بين أن E زمرة جزئية للزمرة (M2(ℝ),+) .0.5
2.احسب J2=J×J حيث : J=1101 ثم استنتج أن E جزء غير مستقر من (M2(ℝ),×)0.75
3. a)نعرف على M2(ℝ) قانون التركيب الداخلي * بما يلي : A*B=A×N×B حيث : N=1−101 ونعتبر التطبيق φ من ℂ* نحو M2(ℝ) الذي يربط كل عدد عقدي غير منعدم a+ib ( a و b عددان حقيقيان ) بالمصفوفة M(a,b) . بين أن φ تشاكل من (ℂ*,×) نحو (M2(ℝ),*)0.5
3. b)نضع : E*=E−{O} . بين أن : φ(ℂ*)=E*0.25
3. c)بين أن (E*,*) زمرة تبادلية.0.5
4.بين أن : (∀(A,B,C)∈E3) A*(B+C)=A*B+A*C0.5
5.استنتج مما سبق أن (E,+,*) جسم تبادلي.0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر (O,u,v) . ليكن θ عددا حقيقيا بحيث : θ∈[0,π2[−{π4}
1. a)نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة التالية : (E) z2−√2eiθz+e2iθ=0. تحقق أن مميز المعادلة (E) هو : Δ=(√2ieiθ)20.25
1. b)اكتب على الشكل المثلثي z1 و z2 حلي المعادلة (E) في المجموعة ℂ .0.75
2. a)نعتبر النقط I و J و T1 و T2 و A التي ألحاقها على التوالي 1 و −1 و ei(θ+π4) و ei(θ−π4) و √2eiθ . بين أن المستقيمين (OA) و (T1T2) متعامدان .0.5
2. b)ليكن K منتصف القطعة [T1T2] . بين أن النقط O و K و A مستقيمية.0.25
2. c)استنتج أن المستقيم (OA) هو واسط القطعة [T1T2] .0.25
3. a)ليكن r الدوران الذي مركزه T1 و قياس زاويته π2 . اعط الصيغة العقدية للدوران r .0.25
3. b)تحقق أن لحق النقطة B صورة النقطة I بالدوران r هو : b=√2eiθ+i0.5
3. c)بين أن المستقيمين (IJ) و (AB) متعامدان .0.25
4.حدد لحق النقطة C صورة النقطة A بالإزاحة التي متجهتها (−v)0.25
5.بين أن النقطة A هي منتصف القطعة [BC] .0.25
Exercice 4 — التحليل
8 pt(s)Partie I
I - نعتبر الدالة f المعرفة على [0,+∞[ بما يلي : f(x)=−xln x1+x2 ; x>0f(0)=0
Partie II
II - نعتبر الدالة F المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي : F(x)=∫0xf(t) dt ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة F في معلم متعامد ممنظم.
1. a)بين أن الدالة f متصلة على المجال [0,+∞[0.5
1. b)أدرس إشارة f(x) على المجال [0,+∞[0.25
2. a)بين أن : (∀x∈ℝ*+) f(1x)=−f(x)0.25
2. b)بين أن الدالة f قابلة للاشتقاق على المجال ]0,+∞[0.25
2. c)بين أن : (∃α∈]0,1[) f′(α)=00.5
2. d)استنتج أن : f′(1α)=00.5
1. a)تحقق أن : (∀t∈[1,+∞[) 12≤t21+t2≤10.5
1. b)بين أن : (∀x∈[1,+∞[) F(1)−12(ln x)2≤F(x)≤F(1)−14(ln x)2 (لاحظ أن : F(x)=∫01f(t) dt−∫1xt21+t2·ln tt dt)1
1. c)أحسب limx→+∞F(x) و limx→+∞F(x)x ثم اعط تأويلا هندسيا للنتيجة المحصل عليها.1
2. a)بين أن الدالة F قابلة للاشتقاق على المجال [0,+∞[ ثم أحسب F′(x)0.5
2. b)أدرس تغيرات الدالة F على المجال [0,+∞[0.25
1. a)بين أن : (∀t∈]0,+∞[) −tln t≤1e0.5
1. b)بين أن : (∀t∈[0,+∞[) f(t)≤1e0.25
1. c)استنتج أن : (∀x∈]0,+∞[) F(x)<x0.25
2. a)نعتبر المتتالية العددية (un)n≥0 المعرفة بما يلي : u0∈]0,1[ و un+1=F(un) (∀n∈ℕ) . بين أن : (∀n∈ℕ) un∈]0,1[0.5
2. b)بين أن المتتالية (un)n≥0 تناقصية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة .0.5
2. c)حدد limn→+∞un0.5
Exercice 5 — التحليل
2 pt(s)نعتبر الدالة العددية g المعرفة على [0,+∞[ بما يلي : g(x)=1x2e−1x ; x>0g(0)=0
1.بين أن الدالة g متصلة على المجال [0,+∞[0.5
2. a)لكل عدد حقيقي x من المجال [0,+∞[ ، نضع : L(x)=∫x1g(t) dt . بين أن الدالة L متصلة على المجال [0,+∞[0.25
2. b)أحسب L(x) من أجل x>00.25
2. c)أحسب limx→0+L(x) ثم استنتج قيمة L(0)0.5
3.لكل عدد صحيح طبيعي n أكبر من أو يساوي 1 نضع : sn=1np=n−1∑p=0g(pn) . بين أن المتتالية (sn)n≥1 متقاربة ثم حدد نهايتها.0.5
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح