Sujet national
National 2012 · SM · session normale
NS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)
Partie I
Les parties I et II sont indépendantes. I — Dans l'anneau unitaire (M3(ℝ),+,×), on considère les deux matrices A=√5−12000−2−1011 et I=100010001.
Partie II
Les parties I et II sont indépendantes. II — Pour tout a et b de l'intervalle I=]1,+∞[, on pose : a*b=√a2b2−a2−b2+2.
1.Calculer I−A et A2.0.75
2.En déduire que A admet une matrice inverse que l'on déterminera.0.5
1.Vérifier que : ∀(x,y)∈ℝ2 ; x2y2−x2−y2+2=(x2−1)(y2−1)+1.0.25
2.Montrer que * est une loi de composition interne dans I.0.5
3. a)On rappelle que (ℝ*+,×) est un groupe commutatif. On considère l'application φ de ℝ*+ vers I qui à x associe √x+1. Montrer que φ est un isomorphisme de (ℝ*+,×) vers (I,*).0.5
3. b)En déduire la structure de (I,*).0.25
3. c)Montrer que l'ensemble Γ={√1+2m / m∈ℤ} est un sous groupe de (I,*).0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)
Partie I
Les parties I et II sont indépendantes. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). I — On considère dans ℂ l'équation (E) : iz2+(2−i)az−(1+i)a2=0 où a est un nombre complexe non nul.
Partie II
Les parties I et II sont indépendantes. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u,v). II — Soient c un nombre réel non nul et z un nombre complexe non nul. On considère les points A, B, C, D et M d'affixes respectifs 1, 1+i, c, ic et z.
1.Déterminer z1 et z2, les deux racines de l'équation (E).0.75
2. a)Vérifier que : z1z2=a2(i−1).0.25
2. b)Montrer que : z1z2 est un nombre réel ⟺arg a≡−3π8[π2].0.5
1. a)Montrer que : A, D et M sont alignés ⟺(ic+1)z+(ic−1)z=2ic (remarquer que c=c).0.5
1. b)Montrer que : (AD)⊥(OM)⟺(ic+1)z−(ic−1)z=0.0.5
2. a)Soit h l'affixe du point H, la projection orthogonale du point O sur (AD). Montrer que : h−(1+i)=ic(h−c).0.75
2. b)En déduire que (CH)⊥(BH).0.25
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
1. a)On considère dans ℤ2 l'équation (E) : 143x−195y=52. Déterminer le plus grand commun diviseur de 143 et 195, puis en déduire que l'équation (E) admet des solutions dans ℤ2.0.5
1. b)Sachant que (−1,−1) est une solution particulière de l'équation (E), résoudre dans ℤ2 l'équation (E) en précisant les étapes de la résolution.0.75
2.Soit n un entier naturel non nul premier avec 5. Montrer que pour tout k de ℕ on a : n4k≡1 [5].0.5
3. a)Soient x et y deux entiers naturels non nuls tels que x≡y [4]. Montrer que pour tout n de ℕ*, on a : nx≡ny [5].0.5
3. b)En déduire que pour tout n de ℕ*, on a : nx≡ny [10].0.5
4.Soient x et y deux entiers naturels tels que (x,y) est solution de l'équation (E). Montrer que pour tout n de ℕ*, les deux nombres nx et ny ont le même chiffre des unités dans l'écriture dans le système décimal.0.25
Exercice 4 — Analyse
5.5 pt(s)
n est un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique fn définie sur ℝ par : fn(x)=x+e−xn. Soit (Cn) la courbe représentative de fn dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i,j).
1.Calculer limx→−∞fn(x) et limx→+∞fn(x).0.5
2. a)Étudier la branche infinie de (Cn) au voisinage de −∞.0.5
2. b)Montrer que la droite (D) d'équation y=x est une asymptote oblique à la courbe (Cn) au voisinage de +∞, puis déterminer la position relative de (Cn) et (D).0.5
3.Etudier les variations de fn et dresser son tableau de variations.0.75
4.Construire la courbe (C3) (on prend f3(−0,6)≃0 et f3(−1,5)≃0 et ln 3≃1,1).0.75
5. a)Montrer que pour n≥3 on a : en<ln n.0.25
5. b)Montrer que pour n≥3 l'équation fn(x)=0 admet exactement deux solutions xn et yn telles que : xn≤−ln n et −en≤yn≤0.1
5. c)Calculer limn→+∞xn et limn→+∞yn.0.5
6. a)On considère la fonction numérique g définie sur [0,+∞[ par : g(x)=−1−xln x ; x>0g(0)=−1 Montrer que la fonction g est continue à droite au point 0.0.25
6. b)Vérifier que pour n≥3 on a : g(−1xn)=ln nxn.0.25
6. c)En déduire limn→+∞ln nxn.0.25
Exercice 5 — Analyse
4.5 pt(s)
On considère la fonction numérique F définie sur [0,1] par :F(x)=1x−ln(1+2x)2x2si x>01si x=0.
1.Soit x un élément de [0,1] ; montrer que pour tout t de [0,x] on a : 11+2x≤11+2t≤1.0.25
2. a)Soit x un élément de ]0,1]. Montrer que F(x)=2x2∫0xt1+2t dt.0.5
2. b)Montrer que : 11+2x≤F(x)≤1. En déduire que la fonction F est continue à droite au point 0.0.75
3.En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout x de [0,1] on a : ∫0x2t1+2t dt=x21+2x+2∫0x(t1+2t)2dt.0.75
4. a)Soit x un élément de ]0,1]. Montrer que F′(x)=−4x3∫0x(t1+2t)2dt.0.5
4. b)Montrer que : −43≤F′(x)≤−43(1+2x)2 (on pourra utiliser le résultat de la question 1).0.75
4. c)En appliquant le théorème des accroissements finis à la fonction F sur [0,x] montrer que −43≤F(x)−F(0)x≤−43(1+2x)2.0.75
4. d)Déduire que la fonction F est dérivable à droite en 0 en précisant son nombre dérivé a droite au point 0.0.25