موضوع وطني
National 2012 · SM · session normale
NS25 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)
Partie I
الجزءان I و II مستقلان. I- في الحلقة الواحدية (M3(ℝ),+,×) ، نعتبر المصفوفتين A=√5−12000−2−1011 و I=100010001
Partie II
الجزءان I و II مستقلان. II - لكل عددين حقيقيين a و b من المجال I=]1,+∞[ نضع : a*b=√a2b2−a2−b2+2
1.احسب I−A و A20.75
2.استنتج أن A تقبل مقلوبا المطلوب تحديده .0.5
1.تحقق أن ∀(x,y)∈ℝ2 ؛ x2y2−x2−y2+2=(x2−1)(y2−1)+10.25
2.بين أن * قانون تركيب داخلي في I0.5
3. a)نذكر أن (ℝ*+,×) زمرة تبادلية . نعتبر التطبيق φ:ℝ*+→I ; x↦√x+1 . بين أن التطبيق φ تشاكل تقابلي من (ℝ*+,×) نحو (I,*)0.5
3. b)استنتج بنية (I,*)0.25
3. c)بين أن المجموعة Γ={√1+2m / m∈ℤ} زمرة جزئية من (I,*)0.75
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)
Partie I
الجزءان I و II مستقلان. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر (O ; u,v). I- نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة (E) : iz2+(2−i)az−(1+i)a2=0 حيث a عدد عقدي غير منعدم.
Partie II
الجزءان I و II مستقلان. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر (O ; u,v). II- ليكن c عددا حقيقيا غير منعدم و z عددا عقديا غير منعدم . نعتبر النقط A و B و C و D و M التي ألحاقها على التوالي هي: 1 و 1+i و c و ic و z
1.حدد z1 و z2 حلي المعادلة (E)0.75
2. a)تحقق أن : z1z2=a2(i−1)0.25
2. b)بين أن : z1z2 عدد حقيقي ⟺arg a≡−3π8[π2]0.5
1. a)بين أن: A و D و M مستقيمية ⟺(ic+1)z+(ic−1)z=2ic (لاحظ أن c=c)0.5
1. b)بين أن : (AD)⊥(OM)⟺(ic+1)z−(ic−1)z=00.5
2. a)ليكن h لحق النقطة H ، المسقط العمودي للنقطة O على (AD). بين أن : h−(1+i)=ic(h−c)0.75
2. b)استنتج أن : (CH)⊥(BH)0.25
Exercice 3 — الحسابيات
3 pt(s)
1. a)نعتبر في ℤ2 المعادلة (E) : 143x−195y=52 . حدد القاسم المشترك الأكبر للعددين 195 و 143 واستنتج أن المعادلة (E) تقبل حلولا في ℤ20.5
1. b)علما أن الزوج (−1,−1) حل خاص للمعادلة (E) ، حل في ℤ2 المعادلة (E) مبرزا مراحل الحل .0.75
2.ليكن n عددا صحيحا طبيعيا غير منعدم وأولي مع 5. بين أن لكل k من ℕ لدينا: n4k≡1 [5]0.5
3. a)ليكن x و y عددين صحيحين طبيعيين غير منعدمين بحيث: x≡y [4]. بين ان لكل n من ℕ* لدينا : nx≡ny [5]0.5
3. b)استنتج أن لكل n من ℕ* لدينا : nx≡ny [10]0.5
4.ليكن x و y عددين صحيحين طبيعيين بحيث يكون الزوج (x,y) حلا للمعادلة (E). بين أنه لكل n من ℕ* ، العددان nx و ny لهما نفس رقم الوحدات في نظمة العد العشري .0.25
Exercice 4 — التحليل
5.5 pt(s)
n عدد صحيح طبيعي غير منعدم. نعتبر الدالة العددية fn المعرفة على ℝ بما يلي: fn(x)=x+e−xn ليكن (Cn) المنحنى الممثل للدالة fn في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O ; i,j)
1.أحسب limx→+∞fn(x) و limx→−∞fn(x)0.5
2. a)ادرس الفرع اللانهائي للمنحنى (Cn) بجوار −∞0.5
2. b)بين أن المستقيم (D) الذي معادلته y=x مقارب مائل للمنحنى (Cn) بجوار +∞ ، وحدد الوضع النسبي للمنحنى (Cn) و (D)0.5
3.ادرس تغيرات الدالة fn ثم ضع جدول تغيراتها .0.75
4.أنشئ المنحنى (C3) (نأخذ f3(−1,5)≃0 و f3(−0,6)≃0 و ln 3≃1,1)0.75
5. a)بين أنه إذا كان n≥3 فإن en<ln n0.25
5. b)بين أنه إذا كان n≥3 فإن المعادلة fn(x)=0 تقبل بالضبط حلين xn و yn حيث : xn≤−ln n و −en≤yn≤01
5. c)احسب limn→+∞xn و limn→+∞yn0.5
6. a)لتكن g الدالة العددية المعرفة على [0,+∞[ بما يلي : g(x)=−1−xln x ; x>0g(0)=−1 بين أن الدالة g متصلة على اليمين في 00.25
6. b)تحقق أن لكل n≥3 : g(−1xn)=ln nxn0.25
6. c)استنتج limn→+∞ln nxn0.25
Exercice 5 — التحليل
4.5 pt(s)
نعتبر الدالة العددية F المعرفة على [0,1] بما يلي : F(0)=1 و F(x)=1x−ln(1+2x)2x2 لكل x من ]0,1]
1.ليكن x من [0,1] . بين أن لكل t من [0,x] لدينا : 11+2x≤11+2t≤10.25
2. a)ليكن x من ]0,1] . بين أن : F(x)=2x2∫0xt1+2t dt0.5
2. b)بين أن : 11+2x≤F(x)≤1 ثم استنتج أن الدالة F متصلة على اليمين في الصفر .0.75
3.باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن لكل x من [0,1] : ∫0x2t1+2t dt=x21+2x+2∫0x(t1+2t)2dt0.75
4. a)ليكن x من ]0,1] . بين أن : F′(x)=−4x3∫0x(t1+2t)2dt0.5
4. b)بين أن −43≤F′(x)≤−43(1+2x)2 (يمكنك استعمال نتيجة السؤال 1)0.75
4. c)بتطبيق مبرهنة التزايدات المنتهية على الدالة F في المجال [0,x] بين أن : −43≤F(x)−F(0)x≤−43(1+2x)20.75
4. d)استنتج أن الدالة F قابلة للاشتقاق على اليمين في 0 محددا عددها المشتق على اليمين في 00.25