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Sujet national
National 2010 · SM · session normale
Exercice 1 — Structures algébriques
3.5 pt(s)Les partis I et II sont indépendantes.
Partie I
I — On munit l'ensemble I=]0,+∞[ de la loi de composition interne * définie par : (∀(a,b)∈I×I) a*b=eln(a)·ln(b).
Partie II
II — On considère la matrice : A=11−2−1−12−2−20.
1.Montrer que la loi * est commutative et associative dans I.0.5
2.Montrer que la loi * admet un élément neutre ε que l'on déterminera.0.25
3. a)Montrer que (I∖{1},*) est un groupe commutatif (I∖{1} désigne l'ensemble I privé de 1).0.75
3. b)Montrer que ]1,+∞[ est un sous-groupe de (I∖{1},*).0.25
4. a)On munit I de la loi de composition interne × (× est la multiplication dans ℝ). Montrer que la loi * est distributive par rapport à la loi ×.0.25
4. b)Montrer que (I,×,*) est un corps commutatif.0.5
1.Calculer A2 et A3.0.5
2.En déduire que la matrice A est non inversible.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3.5 pt(s)Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (O ; u,v).
1. a)Déterminer les deux racines carrées du nombre complexe 3+4i.0.25
1. b)Résoudre dans l'ensemble ℂ l'équation : (E) : 4z2−10iz−7−i=0.0.5
2. a)Soient a et b les solutions de l'équation (E) avec Re(a)<0 et soient A et B leurs points images respectifs dans le plan complexe. Vérifier que : ba=1−i.0.25
2. b)En déduire que le triangle AOB est rectangle et isocèle en A.0.75
3. a)Soient C un point du plan différent du point A ayant pour affixe c et D l'image du point B par la rotation de centre C et d'angle π2 ; et soit L l'image du point D par la translation de vecteur AO. Déterminer en fonction de c le nombre complexe d affixe du point D.0.5
3. b)Déterminer en fonction de c le nombre complexe ℓ affixe du point L.0.5
3. c)Déterminer la forme algébrique du nombre complexe ℓ−ca−c ; en déduire la nature du triangle ACL.0.75
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)1.Déterminer tous les nombres entiers naturels m tels que : m2+1≡0 [5].1
2. a)Soit p un nombre premier tel que p=3+4k où k est un nombre entier naturel. Soit n un nombre entier naturel tel que : n2+1≡0 [p]. Vérifier que : (n2)1+2k≡−1 [p].0.25
2. b)Montrer que n et p sont premiers entre eux.0.5
2. c)En déduire que : (n2)1+2k≡1 [p].0.75
2. d)Déduire de ce qui précède qu'il n'existe pas d'entier naturel n vérifiant : n2+1≡0 [p].0.5
Exercice 4 — Analyse
6.25 pt(s)Partie I
I — On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par : f(x)=4xe−x2. Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i ; j).
Partie II
II — Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère la fonction numérique définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par : fn(x)=4xne−x2.
1.Calculer la limite de f en +∞.0.5
2.Etudier les variations de f sur l'intervalle [0 ; +∞[ puis donner son tableau de variations.0.75
3.Déterminer l'équation de la demi-tangente à la courbe (C) à l'origine du repère puis construire la courbe (C) (on prend ‖i‖=‖j‖=2 cm et on admet que le point d'abscisse √32 est un point d'inflexion de la courbe (C)).0.75
4.Calculer l'intégrale a=∫01f(x) dx puis en déduire, en centimètre carré, l'aire de la partie plane limitée par la courbe (C), les deux axes du repère et la droite d'équation x=1.0.5
1. a)Montrer que : (∀x>1) e−x2<e−x.0.25
1. b)En déduire la limite de fn quand x tend vers +∞.0.25
2.Etudier les variations de la fonction fn sur l'intervalle [0 ; +∞[ puis donner son tableau de variations.0.75
3.Montrer qu'il existe un nombre réel unique un de l'intervalle ]0,1[ tel que : fn(un)=1.0.5
4. a)Montrer que : (∀n≥2) fn+1(un)=un.0.25
4. b)montrer que la suite (un)n≥2 est strictement croissante, en déduire qu'elle est convergente.0.75
5. a)On pose : ℓ=limn→+∞un. Montrer que : 0<ℓ≤1.0.25
5. b)Montrer que : (∀n≥2) −ln(4)n<ln(un)<1n−ln(4)n.0.25
5. c)En déduire que : ℓ=1.0.5
Exercice 5 — Analyse
3.75 pt(s)On considère la fonction numérique F définie sur ℝ* par : F(x)=∫x2x1ln(1+t2) dt.
1.Montrer que F est impaire.0.25
2. a)Pour tout réel x de l'intervalle ]0,+∞[ on pose : φ(x)=∫1x1ln(1+t2) dt. Vérifier que : (∀x>0) F(x)=φ(2x)−φ(x).0.25
2. b)Montrer que F est dérivable sur l'intervalle ]0,+∞[ puis calculer F′(x) pour x>0.0.5
2. c)En déduire le sens de variations de la fonction F sur l'intervalle ]0,+∞[.0.5
3. a)En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : (∀x>0) (∃c∈]x,2x[) : F(x)=xln(1+c2).0.5
3. b)En déduire que : (∀x>0) xln(1+4x2)<F(x)<xln(1+x2).0.25
3. c)Déterminer les limites suivantes : limx→0+F(x) et limx→+∞F(x) et limx→+∞F(x)x.0.75
3. d)Montrer que : F(√e−1)<√e−1 et F(√e−12)>√e−12 ; en déduire que l'équation F(x)=x admet une solution unique dans ]0,+∞[.0.75
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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