fhamtha.ma › المواضيع › National 2010 · SM · session normale
موضوع وطني
National 2010 · SM · session normale
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3.5 pt(s)الجزءان I و II مستقلان فيما بينهما.
Partie I
I- نزود المجموعة I=]0,+∞[ بقانون التركيب الداخلي * المعرف بما يلي: (∀(a,b)∈I×I) a*b=eln(a)·ln(b)
Partie II
II- نعتبر المصفوفة : A=11−2−1−12−2−20
1.بين أن القانون * تبادلي و تجميعي في I.0.5
2.بين أن القانون * يقبل عنصرا محايدا ε في I يتم تحديده.0.25
3. a)بين أن (I∖{1},*) زمرة تبادلية. (I∖{1} هي المجموعة I محرومة من 1)0.75
3. b)بين أن ]1,+∞[ زمرة جزئية للزمرة (I∖{1},*).0.25
4. a)نزود I بقانون التركيب الداخلي × (× هو الضرب في ℝ). بين أن القانون * توزيعي بالنسبة للقانون ×.0.25
4. b)بين أن (I,×,*) جسم تبادلي.0.5
1.أحسب A2 و A3.0.5
2.استنتج أن المصفوفة A لا تقبل مقلوبا.0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3.5 pt(s)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر (O ; u,v).
1. a)حدد الجذرين المربعين للعدد العقدي : 3+4i0.25
1. b)حل في المجموعة ℂ المعادلة : (E) : 4z2−10iz−7−i=00.5
2. a)ليكن a و b حلي المعادلة (E) حيث: Re(a)<0 والنقطتين A و B صورتي a و b على التوالي. تحقق أن: ba=1−i0.25
2. b)استنتج أن المثلث AOB متساوي الساقين و قائم الزاوية في A.0.75
3. a)لتكن C نقطة لحقها c وتخالف النقطة A ولتكن D صورة النقطة B بالدوران الذي مركزه C وزاويته π2 ولتكن L صورة النقطة D بالإزاحة التي متجهتها AO. حدد بدلالة c العدد العقدي d لحق النقطة D.0.5
3. b)حدد بدلالة c العدد العقدي ℓ لحق النقطة L.0.5
3. c)حدد الكتابة الجبرية للعدد العقدي ℓ−ca−c ثم استنتج طبيعة المثلث ACL.0.75
Exercice 3 — الحسابيات
3 pt(s)1.حدد الأعداد الصحيحة الطبيعية m بحيث: m2+1≡0 [5]1
2. a)ليكن p عددا أوليا بحيث : p=3+4k مع k عدد صحيح طبيعي. و ليكن n عددا صحيحا طبيعيا بحيث: n2+1≡0 [p]. تحقق أن: (n2)1+2k≡−1 [p]0.25
2. b)بين أن n و p أوليان فيما بينهما.0.5
2. c)استنتج أن: (n2)1+2k≡1 [p]0.75
2. d)استنتج مما سبق أنه لا يوجد عدد صحيح طبيعي n يحقق: n2+1≡0 [p]0.5
Exercice 4 — التحليل
6.25 pt(s)Partie I
I- نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال [0 ; +∞[ بما يلي: f(x)=4xe−x2 و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في المستوى المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O ; i ; j).
Partie II
II- ليكن n عددا صحيحا طبيعيا أكبر من أو يساوي 2. نعتبر الدالة العددية fn المعرفة على المجال [0 ; +∞[ بما يلي : fn(x)=4xne−x2
1.أحسب نهاية الدالة f عند +∞0.5
2.أدرس تغيرات الدالة f على المجال [0 ; +∞[ ثم ضع جدول تغيراتها.0.75
3.حدد معادلة نصف المماس للمنحنى (C) في أصل المعلم ثم أنشئ (C). (نأخذ ‖i‖=‖j‖=2 cm و نقبل أن النقطة التي أفصولها √32 نقطة انعطاف للمنحنى (C))0.75
4.أحسب التكامل a=∫01f(x) dx ثم استنتج بالسنتمتر المربع مساحة الحيز المستوي المحصور بين المنحنى (C) ومحوري المعلم و المستقيم الذي معادلته x=10.5
1. a)بين أن: (∀x>1) e−x2<e−x0.25
1. b)استنتج نهاية الدالة fn عندما تؤول x إلى +∞.0.25
2.ادرس تغيرات الدالة fn على المجال [0 ; +∞[ ثم ضع جدول تغيراتها.0.75
3.بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد un من المجال ]0,1[ بحيث : fn(un)=10.5
4. a)تحقق أن : (∀n≥2) fn+1(un)=un0.25
4. b)بين أن المتتالية (un)n≥2 تزايدية قطعا ثم استنتج أنها متقاربة.0.75
5. a)نضع : ℓ=limn→+∞un. بين أن : 0<ℓ≤10.25
5. b)بين أن : (∀n≥2) −ln(4)n<ln(un)<1n−ln(4)n0.25
5. c)استنتج أن : ℓ=10.5
Exercice 5 — التحليل
3.75 pt(s)نعتبر الدالة العددية F المعرفة على ℝ* بما يلي : F(x)=∫x2x1ln(1+t2) dt
1.بين أن الدالة F فردية.0.25
2. a)لكل x من المجال ]0,+∞[ نضع : φ(x)=∫1x1ln(1+t2) dt. تحقق أن: (∀x>0) F(x)=φ(2x)−φ(x)0.25
2. b)بين أن الدالة F قابلة للاشتقاق على المجال ]0,+∞[ ثم أحسب F′(x) من أجل x>0.0.5
2. c)استنتج منحى تغيرات الدالة F على المجال ]0,+∞[.0.5
3. a)باستعمال مبرهنة التزايدات المنتهية ، بين أن: (∀x>0) (∃c∈]x,2x[) : F(x)=xln(1+c2)0.5
3. b)استنتج أن: (∀x>0) xln(1+4x2)<F(x)<xln(1+x2)0.25
3. c)حدد النهايات : limx→0+F(x) و limx→+∞F(x) و limx→+∞F(x)x.0.75
3. d)تحقق أن : F(√e−1)<√e−1 و F(√e−12)>√e−12 ثم استنتج أن المعادلة F(x)=x تقبل حلا وحيدا في ]0,+∞[.0.75
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح