Sujet national
National 2009 · SM · session rattrapage
C:RS24 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3 pt(s)
On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire dont l'unité est la matrice I=1001, et que (M2(ℝ),+,·) est un espace vectoriel réel. Soit V l'ensemble des matrices M(a,b)=ab4ba où (a ; b)∈ℝ2.
1.Montrer que V est un sous-espace vectoriel de (M2(ℝ),+,·) et déterminer une base de V.0.75
2. a)Montrer que V est une partie stable de (M2(ℝ),×).0.25
2. b)Montrer que (V,+,×) est un anneau unitaire commutatif.0.5
3. a)Calculer M(12,−14)×M(12,14).0.25
3. b)L'anneau (V,+,×) est-il un corps ?0.25
4. a)Soit X une matrice de V telle que : X=ab4ba avec (a,b)∈ℝ2. Montrer que : X2−2aX+(a2−4b2)I=O, où O est la matrice nulle.0.5
4. b)On suppose que : a2−4b2≠0. Montrer que la matrice X admet un inverse dans V qu'il faut déterminer.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
4 pt(s)
Soit u un nombre complexe différent de (1−i).
1. a)Développer (iu−1−i)2.0.25
1. b)Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation d'inconnue z : z2−2(u+1−i)z+2u2−4i=0.0.75
2. a)Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère les points A((1+i)u−2i), B((1−i)u+2), U(u) et Ω(2−2i). Déterminer l'affixe du point I milieu du segment [AB], puis déterminer le vecteur de translation t qui transforme le point U en le point I.0.5
2. b)Soit R la rotation de centre Ω et d'angle (−π2). Montrer que R(A)=B.0.5
2. c)En déduire que (ΩI) et (AB) sont perpendiculaires.0.5
2. d)À partir du point U, expliquer une méthode de construction des deux points A et B.0.75
3. a)On pose u=a(1+i)−2i où a∈ℝ. Déterminer les affixes des deux vecteurs AB et AU en fonction de a.0.5
3. b)En déduire que les points A, B et U sont alignés.0.25
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
n est un entier naturel supérieur ou égal à 4. On dispose de trois boîtes U1, U2 et U3. La boîte U1 contient une boule rouge et (n−1) boules noires. La boîte U2 contient deux boules rouges et (n−2) boules noires. La boîte U3 contient trois boules rouges et (n−3) boules noires. On considère l'expérience aléatoire suivante : on choisit au hasard une boîte parmi les trois boîtes puis on tire simultanément deux boules de la boîte choisie. Soit X la variable aléatoire réelle égale au nombre de boules rouges tirées.
1.Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X.0.25
2. a)Montrer que la probabilité de l'événement (X=2) est égale à 83n(n−1).0.75
2. b)Montrer que la probabilité de l'événement (X=1) est égale à 4(3n−7)3n(n−1).0.75
2. c)En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire X.0.5
3.Sachant que l'on a obtenu deux boules rouges, quelle est la probabilité que le tirage ait été fait dans la boîte U3 ?0.75
Problème — Analyse
10 pt(s)
Partie I
I — On considère la fonction numérique g de la variable réelle x définie sur ℝ+ par : g(x)=2(1−e−x)−x.
Partie II
II — On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ℝ*+ par : f(x)=1−exx2, et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j). La fonction g et le réel α sont ceux de la partie I : g(x)=2(1−e−x)−x et α est l'unique solution de g(x)=0 dans ]ln 4,ln 6[.
Partie III
III — On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie sur [0,+∞[ par : (∀x>0) F(x)=∫x2x1−ett2 dt et F(0)=−ln 2.
1. a)Étudier les variations de la fonction g.0.5
1. b)Dresser le tableau de variations de la fonction g.0.5
2. a)Montrer que l'équation g(x)=0 admet une solution unique α dans l'intervalle ]ln 4,ln 6[ (on prendra ln 2≈0,7 et ln 3≈1,1).0.5
2. b)Étudier le signe de g(x) sur ℝ+.0.5
3. a)On considère la suite numérique (un) définie par : u0=1 et un+1=2(1−e−un) pour tout n de ℕ. Montrer que 1≤un<α pour tout n de ℕ.0.5
3. b)Montrer que un+1−un=g(un) pour tout n de ℕ.0.25
3. c)Montrer que la suite (un)n≥0 est strictement croissante.0.25
3. d)Montrer que la suite (un)n≥0 est convergente puis calculer limn→+∞un.0.5
1.Calculer limx→+∞f(x) et limx→0 x>0f(x) et limx→+∞f(x)x.1
2. a)Vérifier que : f(α)=1α(α−2).0.5
2. b)Montrer que f′(x)=exg(x)x3 pour tout x de ℝ*+, puis dresser le tableau de variations de la fonction f.0.75
3.Construire (C) (on prendra α≈1,5).0.5
1. a)En utilisant une intégration par parties, montrer que : (∀x>0) F(x)=e2x−12x−ex−1x−∫x2xett dt.0.5
1. b)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[ : exln 2≤∫x2xett dt≤e2xln 2.0.5
1. c)Calculer limx→0 x>0∫x2xett dt puis en déduire que la fonction F est continue à droite en zéro.0.5
2. a)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[ : F(x)≤1−ex2x.0.25
2. b)Calculer limx→+∞F(x).0.25
3.Montrer que F est dérivable sur ]0,+∞[ et que : (∀x>0) F′(x)=−12(ex−1x)2.0.5
4. a)Soit x de l'intervalle ]0,+∞[. Montrer qu'il existe c de l'intervalle ]0,x[ tel que : F(x)−F(0)=−12xe2c (on pourra utiliser le théorème des accroissements finis deux fois).0.75
4. b)Prouver que pour tout x de ]0,+∞[ : −12e2x≤F(x)−F(0)x≤−12.0.25
4. c)En déduire que F est dérivable à droite en zéro et que F′d(0)=−12.0.25