Exercice 1 — البنيات الجبرية
3 pt(s)
نذكر أن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية وحدتها المصفوفة I=1001 و أن (M2(ℝ),+,·) فضاء متجهي حقيقي. لتكن V مجموعة المصفوفات M(a,b)=ab4ba حيث (a ; b)∈ℝ2.
1.بين أن V فضاء متجهي جزئي من (M2(ℝ),+,·) وحدد أساسا له.0.75
2. a)بين أن V جزء مستقر من (M2(ℝ),×).0.25
2. b)بين أن (V,+,×) حلقة واحدية تبادلية.0.5
3. a)احسب M(12,−14)×M(12,14).0.25
3. b)هل الحلقة (V,+,×) جسم؟0.25
4. a)لتكن X مصفوفة من V حيث: X=ab4ba مع (a,b)∈ℝ2. بين أن: X2−2aX+(a2−4b2)I=O، حيث O هي المصفوفة المنعدمة.0.5
4. b)نفترض أن: a2−4b2≠0. بين أن المصفوفة X تقبل مقلوبا في V ينبغي تحديده.0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
4 pt(s)
ليكن u عددا عقديا يخالف (1−i).
1. a)أنشر (iu−1−i)2.0.25
1. b)حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة ذات المجهول z: z2−2(u+1−i)z+2u2−4i=0.0.75
2. a)المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر. نعتبر النقط A((1+i)u−2i) و B((1−i)u+2) و U(u) و Ω(2−2i). حدد لحق النقطة I منتصف القطعة [AB] ثم حدد متجهة الإزاحة t التي تحول النقطة U إلى النقطة I.0.5
2. b)ليكن R الدوران الذي مركزه Ω وزاويته (−π2). بين أن R(A)=B.0.5
2. c)استنتج أن (ΩI) و (AB) متعامدان.0.5
2. d)انطلاقا من النقطة U وضح طريقة لإنشاء النقطتين A و B.0.75
3. a)نضع u=a(1+i)−2i حيث (a∈ℝ). حدد لحقي المتجهتين AB و AU بدلالة a.0.5
3. b)استنتج أن النقط A و B و U مستقيمية.0.25
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
n عدد صحيح طبيعي أكبر أو يساوي 4. لدينا ثلاث صناديق U1 و U2 و U3. الصندوق U1 يحتوي على كرة حمراء واحدة و (n−1) كرة سوداء. الصندوق U2 يحتوي على كرتين حمراوين و (n−2) كرة سوداء. الصندوق U3 يحتوي على ثلاث كرات حمراء و (n−3) كرة سوداء. نعتبر التجربة العشوائية التالية: نختار عشوائيا صندوقا من بين الصناديق الثلاثة ثم نسحب تآنيا كرتين من الصندوق الذي وقع عليه الاختيار. ليكن X المتغير العشوائي الحقيقي الذي يساوي عدد الكرات الحمراء المسحوبة.
1.حدد قيم المتغير العشوائي X.0.25
2. a)بين أن احتمال الحدث (X=2) يساوي 83n(n−1).0.75
2. b)بين أن احتمال الحدث (X=1) يساوي 4(3n−7)3n(n−1).0.75
2. c)استنتج قانون احتمال المتغير العشوائي X.0.5
3.علما أننا حصلنا على كرتين حمراوين، ما هو احتمال أن يكون السحب قد تم من الصندوق U3 ؟0.75
Problème — التحليل
10 pt(s)
Partie I
I – نعتبر الدالة العددية g للمتغير الحقيقي x المعرفة على ℝ+ بما يلي : g(x)=2(1−e−x)−x.
Partie II
II – نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x المعرفة على ℝ*+ بما يلي : f(x)=1−exx2 و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j).
Partie III
III – نعتبر الدالة العددية F للمتغير الحقيقي x المعرفة على [0,+∞[ بما يلي : (∀x>0) F(x)=∫x2x1−ett2 dt و F(0)=−ln 2.
1. a)ادرس تغيرات الدالة g.0.5
1. b)ضع جدول تغيرات الدالة g.0.5
2. a)بين أن المعادلة g(x)=0 تقبل حلا وحيدا α في المجال ]ln 4,ln 6[ (نأخذ ln 2≈0,7 و ln 3≈1,1).0.5
2. b)ادرس إشارة g(x) على ℝ+.0.5
3. a)نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي: u0=1 و un+1=2(1−e−un) لكل n من ℕ. بين أن 1≤un<α لكل n من ℕ.0.5
3. b)بين أن un+1−un=g(un) لكل n من ℕ.0.25
3. c)بين أن المتتالية (un)n≥0 تزايدية قطعا.0.25
3. d)بين أن المتتالية (un)n≥0 متقاربة ثم احسب limn→+∞un.0.5
1.احسب limx→+∞f(x) و limx→0 x>0f(x) و limx→+∞f(x)x.1
2. a)تحقق أن: f(α)=1α(α−2).0.5
2. b)بين أن f′(x)=exg(x)x3 لكل x من ℝ*+ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f.0.75
3.أنشئ (C) (نأخذ α≈1,5).0.5
1. a)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن: (∀x>0) F(x)=e2x−12x−ex−1x−∫x2xett dt.0.5
1. b)بين أن لكل x من ]0,+∞[: exln 2≤∫x2xett dt≤e2xln 2.0.5
1. c)احسب limx→0 x>0∫x2xett dt ثم استنتج أن الدالة F متصلة على اليمين في الصفر.0.5
2. a)بين أن لكل x من ]0,+∞[: F(x)≤1−ex2x.0.25
2. b)احسب limx→+∞F(x).0.25
3.بين أن F قابلة للاشتقاق على ]0,+∞[ و أن: (∀x>0) F′(x)=−12(ex−1x)2.0.5
4. a)ليكن x من المجال ]0,+∞[. بين أنه يوجد c من المجال ]0,x[ بحيث: F(x)−F(0)=−12xe2c (يمكنك استعمال مبرهنة التزايدات المنتهية مرتين).0.75
4. b)أثبت أن لكل x من ]0,+∞[: −12e2x≤F(x)−F(0)x≤−12.0.25
4. c)استنتج أن F قابلة للاشتقاق على اليمين في الصفر و أن Fd′(0)=−12.0.25