Sujet national
National 2009 · SM · session normale
C:NS24 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — Structures algébriques
3 pt(s)
M2(ℝ) est l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2. On rappelle que (M2(ℝ),+,×) est un anneau unitaire dont l'unité est I=1001. Soit F l'ensemble des matrices M(x,y) de M2(ℝ) telles que : M(x,y)=xy01x avec (x,y)∈ℝ*×ℝ.
1. a)Montrer que F est une partie stable de (M2(ℝ),×).0.25
1. b)Montrer que (F,×) est un groupe non commutatif.1
2.Soit G l'ensemble des matrices M(x,0) de F où x∈ℝ*. Montrer que G est un sous-groupe du groupe (F,×).0.5
3. a)Soit E=ℝ*×ℝ. On munit l'ensemble E de la loi de composition interne ⊥ définie par : ∀(x,y)∈E ; ∀(a,b)∈E : (x,y)⊥(a,b)=(xa, xb+ya). On considère l'application φ: (F,×)→(E,⊥) définie par φ(M(x,y))=(x,y). Calculer (1,1)⊥(2,3) et (2,3)⊥(1,1).0.25
3. b)Montrer que φ est un isomorphisme.0.5
3. c)En déduire la structure de (E,⊥).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
4 pt(s)
Partie I
m est un nombre complexe différent de 1. I. On considère dans l'ensemble ℂ l'équation d'inconnue z : (E) : z2−(1−i)(m+1)z−i(m2+1)=0.
Partie II
m est un nombre complexe différent de 1. II. Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; e1,e2). On considère les points M, M1 et M2 dont les affixes sont respectivement m, z1=1−im et z2=m−i.
1. a)Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est : Δ=[(1+i)(m−1)]2.0.25
1. b)Résoudre dans l'ensemble ℂ l'équation (E).0.25
1. c)Déterminer sous forme algébrique les deux valeurs du nombre complexe m pour que le produit des deux solutions de l'équation (E) soit égal à 1.0.5
2.On pose : z1=1−im et z2=m−i. Dans le cas où m=eiθ et π2<θ<π, écrire z1 et z2 sous forme trigonométrique.1
1.Déterminer l'ensemble des points M tels que les points M, M1 et M2 soient alignés.0.5
2. a)Montrer que la transformation R qui associe à tout point M d'affixe z le point M′ d'affixe z′=1−iz est une rotation dont on déterminera l'affixe du centre Ω et une mesure de l'angle.0.5
2. b)Montrer que le nombre complexe z2−z1z2−m est imaginaire pur si et seulement si Re(m)+Im(m)=1 (Re(m) est la partie réelle du nombre m et Im(m) est sa partie imaginaire).0.5
2. c)En déduire l'ensemble des points M tels que les points Ω, M, M1 et M2 soient cocycliques.0.5
Exercice 3 — Arithmétique
3 pt(s)
Pour tout n de ℕ* on pose : an=2n+3n+6n−1.
1. a)Vérifier que an est un nombre pair pour tout n de ℕ*.0.25
1. b)Déterminer les valeurs de n pour lesquelles an≡0 [3].0.5
2. a)Soit p un nombre premier tel que p>3. Montrer que : 2p−1≡1 [p] et 3p−1≡1 [p] et 6p−1≡1 [p].0.75
2. b)Montrer que p divise ap−2.0.75
2. c)Montrer que pour tout nombre entier naturel premier q, il existe un entier naturel non nul n tel que : an∧q=q (an∧q est le plus grand commun diviseur des deux nombres an et q).0.75
Problème — Analyse
10 pt(s)
Partie I
Soit n un entier naturel non nul. On considère la fonction numérique fn de la variable réelle x définie sur l'intervalle [0,+∞[ par :fn(x)=x(1−ln x)nsi x>00si x=0.Soit (Cn) la courbe représentative de la fonction fn dans un repère orthonormé (O ; i,j). Première partie.
Partie II
Deuxième partie. On considère la fonction numérique F de la variable réelle x définie sur l'intervalle ]−∞,0] par : F(x)=∫ex1f1(t)1+t2 dt, où f1 est la fonction de la première partie : f1(t)=t(1−ln t).
Partie III
Troisième partie. Pour tout entier naturel non nul n on pose : un=∫1efn(x) dx, où fn est la fonction de la première partie : fn(x)=x(1−ln x)n.
1. a)Montrer que la fonction fn est continue à droite en 0 (on pourra poser x=tn).0.5
1. b)Étudier la dérivabilité de la fonction fn à droite en 0.0.25
1. c)Déterminer les limites : limx→+∞f1(x) et limx→+∞f1(x)x et limx→+∞f2(x) et limx→+∞f2(x)x.1
2. a)Étudier les variations de la fonction f1.0.5
2. b)Étudier les variations de la fonction f2.0.5
3. a)Étudier la position relative des deux courbes (C1) et (C2).0.25
3. b)Construire les deux courbes (C1) et (C2) (on admet que A(1,1) est un point d'inflexion de la courbe (C2) ; on prendra ‖i‖=‖j‖=2 cm).0.5
1. a)Montrer que la fonction F est dérivable sur l'intervalle ]−∞,0[ et que : (∀x<0) F′(x)=(x−1)e2x1+e2x.0.5
1. b)En déduire le sens de variations de la fonction F sur l'intervalle ]−∞,0].0.25
2. a)Montrer que : (∀x<0) 12∫ex1f1(t) dt≤F(x)≤11+e2x∫ex1f1(t) dt.0.25
2. b)Vérifier que la fonction x↦x2(34−ln x2) est une primitive de la fonction f1 sur l'intervalle ]0,+∞[.0.25
2. c)Montrer que : limx→−∞∫ex1f1(t) dt=34.0.25
3.On suppose que la fonction F admet une limite finie ℓ quand x tend vers −∞. Montrer que : 38≤ℓ≤34.0.25
1. a)Montrer que : (∀n≥1) un≥0.0.5
1. b)Déterminer le signe de fn+1(x)−fn(x) sur l'intervalle [1,e].0.5
1. c)Montrer que : (∀n≥1) un+1≤un.0.25
1. d)En déduire que la suite (un)n≥1 est convergente.0.25
2. a)Montrer que : (∀n≥1) un+1=−12+n+12un.0.5
2. b)En déduire, en centimètre carré (cm2), l'aire de la portion de plan comprise entre les deux courbes (C1) et (C2) et les deux droites d'équations respectives x=1 et x=e.0.5
3. a)Montrer que : (∀n≥2) 1n+1≤un≤1n−1 (on pourra utiliser les questions 1-a, 1-c et 2-a).0.75
3. b)Déterminer limn→+∞un et limn→+∞nun.0.5
4. a)a est un nombre réel différent du nombre u1. On considère la suite (vn)n≥1 définie par : v1=a et vn+1=−12+n+12vn pour tout n≥1 ; et pour tout entier naturel non nul n on pose : dn=|vn−un|. Montrer que : (∀n≥1) dn=n!2n−1d1.0.25
4. b)Montrer que : limn→+∞dn=+∞.0.5
4. c)En déduire que la suite (vn)n≥1 est divergente.0.25