موضوع وطني
National 2009 · SM · session normale
C:NS24 · 4 heures · Mathématiques · SM
Exercice 1 — البنيات الجبرية
3 pt(s)
M2(ℝ) هي مجموعة المصفوفات المربعة من الرتبة 2. نذكر أن (M2(ℝ),+,×) حلقة واحدية وحدتها I=1001. لتكن F مجموعة المصفوفات M(x,y) من M2(ℝ) بحيث : M(x,y)=xy01x مع (x,y)∈ℝ*×ℝ.
1. a)بين أن F جزء مستقر من (M2(ℝ),×).0.25
1. b)بين أن (F,×) زمرة غير تبادلية.1
2.لتكن G مجموعة المصفوفات M(x,0) من F حيث x∈ℝ*. بين أن G زمرة جزئية للزمرة (F,×).0.5
3. a)ليكن E=ℝ*×ℝ. نزود المجموعة E بقانون التركيب الداخلي ⊥ المعرف بما يلي: ∀(x,y)∈E ؛ ∀(a,b)∈E : (x,y)⊥(a,b)=(xa, xb+ya). نعتبر التطبيق φ:(F,×)→(E,⊥) المعرف بما يلي: φ(M(x,y))=(x,y). احسب (1,1)⊥(2,3) و (2,3)⊥(1,1).0.25
3. b)بين أن φ تشاكل تقابلي.0.5
3. c)استنتج بنية (E,⊥).0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
4 pt(s)
Partie I
m عدد عقدي يخالف 1. I. نعتبر في المجموعة ℂ المعادلة ذات المجهول z : (E) : z2−(1−i)(m+1)z−i(m2+1)=0.
Partie II
m عدد عقدي يخالف 1. II. المستوى العقدي (P) منسوب إلى معلم متعامد ممنظم و مباشر (O ; e1,e2). نعتبر النقط M و M1 و M2 التي ألحاقها على التوالي هي m و z1=1−im و z2=m−i.
1. a)تحقق أن مميز المعادلة (E) هو: Δ=[(1+i)(m−1)]2.0.25
1. b)حل في المجموعة ℂ المعادلة (E).0.25
1. c)حدد على الشكل الجبري قيمتي العدد العقدي m لكي يكون جداء حلي المعادلة (E) يساوي 1.0.5
2.نضع: z1=1−im و z2=m−i. في حالة m=eiθ و π2<θ<π، أكتب z1 و z2 على الشكل المثلثي.1
1.حدد مجموعة النقط M بحيث تكون النقط M و M1 و M2 مستقيمية.0.5
2. a)بين أن التحويل R الذي يربط كل نقطة M لحقها z بالنقطة M′ التي لحقها z′=1−iz هو دوران ينبغي تحديد لحق مركزه Ω و قياسا لزاويته.0.5
2. b)بين أن العدد العقدي z2−z1z2−m تخيلي صرف إذا و فقط إذا كان Re(m)+Im(m)=1 (Re(m) هو الجزء الحقيقي للعدد m و Im(m) هو جزؤه التخيلي).0.5
2. c)استنتج مجموعة النقط M بحيث تكون النقط Ω و M و M1 و M2 متداورة.0.5
Exercice 3 — الحسابيات
3 pt(s)
لكل n من ℕ* نضع : an=2n+3n+6n−1.
1. a)تحقق أن an عدد زوجي لكل n من ℕ*.0.25
1. b)حدد قيم n التي يكون من أجلها an≡0 [3].0.5
2. a)ليكن p عددا أوليا بحيث p>3. بين أن: 2p−1≡1 [p] و 3p−1≡1 [p] و 6p−1≡1 [p].0.75
2. b)بين أن p يقسم ap−2.0.75
2. c)بين أنه لكل عدد صحيح طبيعي أولي q يوجد عدد صحيح طبيعي غير منعدم n بحيث: an∧q=q (an∧q هو القاسم المشترك الأكبر للعددين an و q).0.75
Problème — التحليل
10 pt(s)
Partie I
n عدد صحيح طبيعي غير منعدم. نعتبر الدالة العددية fn للمتغير الحقيقي x المعرفة على المجال [0,+∞[ بما يلي : fn(0)=0 و fn(x)=x(1−ln x)n من أجل x>0. ليكن (Cn) المنحنى الممثل للدالة fn في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j). الجزء الأول.
Partie II
الجزء الثاني. نعتبر الدالة العددية F للمتغير الحقيقي x المعرفة على المجال ]−∞,0] بما يلي : F(x)=∫ex1f1(t)1+t2 dt.
Partie III
الجزء الثالث. لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع : un=∫1efn(x) dx.
1. a)بين أن الدالة fn متصلة على اليمين في 0 (يمكنك وضع x=tn).0.5
1. b)ادرس قابلية اشتقاق الدالة fn على اليمين في 0.0.25
1. c)حدد النهايات: limx→+∞f1(x) و limx→+∞f1(x)x و limx→+∞f2(x) و limx→+∞f2(x)x.1
2. a)ادرس تغيرات الدالة f1.0.5
2. b)ادرس تغيرات الدالة f2.0.5
3. a)ادرس الوضع النسبي للمنحنيين (C1) و (C2).0.25
3. b)أنشئ المنحنيين (C1) و (C2) (نقبل أن A(1,1) نقطة انعطاف للمنحنى (C2)) (نأخذ: ‖i‖=‖j‖=2 cm).0.5
1. a)بين أن الدالة F قابلة للاشتقاق على المجال ]−∞,0[ و أن: (∀x<0) F′(x)=(x−1)e2x1+e2x.0.5
1. b)استنتج منحى تغيرات الدالة F على المجال ]−∞,0].0.25
2. a)بين أن: (∀x<0) 12∫ex1f1(t) dt≤F(x)≤11+e2x∫ex1f1(t) dt.0.25
2. b)تحقق أن الدالة x↦x2(34−ln x2) هي دالة أصلية للدالة f1 على المجال ]0,+∞[.0.25
2. c)بين أن: limx→−∞∫ex1f1(t) dt=34.0.25
3.نفترض أن الدالة F تقبل نهاية منتهية ℓ عندما يؤول x إلى −∞. بين أن: 38≤ℓ≤34.0.25
1. a)بين أن: (∀n≥1) un≥0.0.5
1. b)حدد إشارة fn+1(x)−fn(x) على المجال [1,e].0.5
1. c)بين أن: (∀n≥1) un+1≤un.0.25
1. d)استنتج أن المتتالية (un)n≥1 متقاربة.0.25
2. a)بين أن: (∀n≥1) un+1=−12+n+12un.0.5
2. b)استنتج بالسنتمتر المربع (cm2) مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنيين (C1) و (C2) والمستقيمين الذين معادلتيهما على التوالي x=1 و x=e.0.5
3. a)بين أن: (∀n≥2) 1n+1≤un≤1n−1 (يمكنك استعمال الأسئلة: 1-أ) و 1-ج) و 2-أ)).0.75
3. b)حدد limn→+∞un و limn→+∞nun.0.5
4. a)a عدد حقيقي مخالف للعدد u1. نعتبر المتتالية (vn)n≥1 المعرفة بما يلي: v1=a و vn+1=−12+n+12vn (∀n≥1)، و لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم n نضع: dn=|vn−un|. بين أن: (∀n≥1) dn=n!2n−1d1.0.25
4. b)بين أن: limn→+∞dn=+∞.0.5
4. c)استنتج أن المتتالية (vn)n≥1 متباعدة.0.25