Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k), on considère les deux points A(1,1,0) et Ω(−1,1,−2) et le plan (P) d'équation x+z−1=0.
1. a)Vérifier que A est un point du plan (P) et donner un vecteur normal de (P).0.5
1. b)Montrer que la droite (ΩA) est perpendiculaire au plan (P).0.5
2. a)Soit (S) l'ensemble des points M(x,y,z) de l'espace vérifiant x2+y2+z2+2x−2y+4z−3=0. Montrer que (S) est une sphère de centre Ω et déterminer son rayon.0.5
2. b)Montrer que (P) coupe (S) suivant un cercle de centre A puis déterminer son rayon.0.5
3. a)Soit (Qm) un plan d'équation x+y+mz−2=0, où m est un nombre réel. Vérifier que A est un point du plan (Qm), pour tout m de ℝ.0.25
3. b)Déterminer la valeur du réel m pour que (Qm) soit perpendiculaire au plan (P).0.5
3. c)Existe-t-il un plan (Qm) qui coupe la sphère (S) suivant un cercle de centre A ? Justifier.0.25
Exercice 2 — Nombres complexes
4 pt(s)
Partie I
On considère dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation (E):z2−4z+9=0.
Partie II
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a=2+i√5, b=2−i√5 et c=2−√5.
1.Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est Δ=(2i√5)2.0.25
2.Résoudre l'équation (E).0.5
1. a)Vérifier que |a|=3.0.25
1. b)Montrer que le triangle OAB est isocèle.0.25
2. a)Vérifier que a−cb−c=i.0.5
2. b)Déduire la nature du triangle ABC.0.5
3. a)Déterminer l'affixe du point D image de B par la translation de vecteur CA.0.5
3. b)Montrer que ADBC est un carré.0.5
4. a)On pose xn=(a3)n et yn=11−xn, avec n un entier naturel non nul. Vérifier que xn xn=1.0.25
4. b)Montrer que yn+yn=1 puis déduire la partie réelle de yn.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
2 pt(s)
Une urne contient huit boules : quatre boules blanches, trois boules noires et une boule verte. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard successivement et sans remise trois boules de l'urne.
1.Vérifier que le nombre de tirages possibles est égal à 336.0.25
2.Calculer la probabilité de l'évènement A : « Tirer trois boules blanches ».0.5
3.Montrer que la probabilité de l'évènement B : « Tirer trois boules de même couleur » est p(B)=556.0.75
4.Calculer la probabilité de l'évènement C : « Obtenir au moins deux couleurs différentes ».0.5
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
La figure du sujet représente les courbes (Cg) et (Ch) des fonctions g:x↦x1+x et h:x↦ln(1+x) sur l'intervalle ]−1,+∞[, ainsi que la droite d'équation y=x, dans un même repère orthonormé.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par f(x)=e−xln(1+ex). Soit (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j).
1. a)À partir de cette figure, justifier que : x1+x≤ln(1+x)≤x, pour tout x de ]−1,+∞[.0.5
1. b)En déduire que (1+x)ln(1+x)−x≥0, pour tout x de ]−1,+∞[.0.25
1. c)Prouver que ex−(1+ex)ln(1+ex)≤0, pour tout x de ℝ.0.5
2. a)Soit (un) la suite numérique définie par u0=1 et la relation un+1=g(un), pour tout n∈ℕ. Montrer par récurrence que 0<un≤1, pour tout n de ℕ.0.5
2. b)Montrer que la suite (un) est décroissante. (On peut utiliser la question Partie I-1-a.)0.5
2. c)En déduire que la suite (un) est convergente.0.25
2. d)Déterminer la limite de (un).0.75
1. a)Calculer f(0) et vérifier que f(x)>0, pour tout x∈ℝ.0.5
1. b)Montrer que limx→−∞f(x)=1 puis donner une interprétation géométrique de ce résultat.0.5
1. c)Montrer que limx→+∞f(x)=0, puis donner une interprétation géométrique de ce résultat.0.5
2. a)Montrer que pour tout x∈ℝ : f′(x)=11+ex−e−xln(1+ex).0.5
2. b)Vérifier que pour tout x∈ℝ : f′(x)=ex−(1+ex)ln(1+ex)ex(1+ex).0.5
2. c)Déduire que f est strictement décroissante sur ℝ. (On peut utiliser la question Partie I-1-c.)0.5
3. a)Déterminer l'équation de la tangente (T) à la courbe (Cf) au point d'abscisse 0.0.5
3. b)Vérifier que la tangente (T) passe par le point A(1,12).0.25
3. c)Construire (T) et la courbe (Cf) dans le repère (O,i,j). (On prend ln 2≈0,7.)0.75
4. a)Montrer que f admet une fonction réciproque f−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer f−1(x).)0.5
4. b)Vérifier que f−1 est dérivable en ln 2 et calculer (f−1)′(ln 2).0.5
5. a)Soit λ un réel strictement positif. Vérifier que 11+ex=e−x1+e−x, pour tout x de ℝ.0.25
5. b)Montrer que ∫0λ11+ex dx=ln(2)−ln(1+e−λ).0.5
5. c)Montrer que ∫0λf(x) dx=ln(2)−f(λ)+∫0λ11+ex dx. (Remarquer que f(x)=11+ex−f′(x).)0.5
5. d)Déduire en fonction de λ l'aire Aλ de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=λ.0.5
5. e)Calculer limλ→+∞Aλ.0.5