Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O,i,j,k)، النقطتين A(1,1,0) و Ω(−1,1,−2) والمستوى (P) الذي معادلته x+z−1=0
1. a)تحقق أن A نقطة من المستوى (P) واعط متجهة منظمية على (P)0.5
1. b)بين أن المستقيم (ΩA) عمودي على المستوى (P)0.5
2. a)لتكن (S) مجموعة النقط M(x,y,z) من الفضاء التي تحقق x2+y2+z2+2x−2y+4z−3=0. بين أن (S) فلكة مركزها Ω وحدد شعاعها0.5
2. b)بين أن المستوى (P) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة مركزها A ثم حدد شعاعها0.5
3. a)ليكن (Qm) مستوى ذي المعادلة x+y+mz−2=0 ، حيث m عدد حقيقي. تحقق أن A نقطة من المستوى (Qm)، لكل m من ℝ0.25
3. b)حدد قيمة العدد الحقيقي m لكي يكون (Qm) عموديا على (P)0.5
3. c)هل يوجد مستوى (Qm) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة مركزها A ؟ علل جوابك0.25
Exercice 2 — الأعداد العقدية
4 pt(s)
Partie I
I. نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة (E):z2−4z+9=0
Partie II
II. نعتبر في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم ومباشر (O,u,v) النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي a=2+i√5 و b=2−i√5 و c=2−√5
1.تحقق أن مميز المعادلة (E) هو Δ=(2i√5)20.25
2.حل المعادلة (E)0.5
1. a)تحقق أن |a|=30.25
1. b)بين أن المثلث OAB متساوي الساقين0.25
2. a)تحقق أن a−cb−c=i0.5
2. b)استنتج طبيعة المثلث ABC0.5
3. a)حدد لحق النقطة D ، صورة النقطة B بالإزاحة ذات المتجهة CA0.5
3. b)بين أن ADBC مربع0.5
4. a)نضع : xn=(a3)n و yn=11−xn ، حيث n عدد صحيح طبيعي غير منعدم. تحقق أن xn xn=10.25
4. b)بين أن yn+yn=1 ثم استنتج الجزء الحقيقي للعدد العقدي yn0.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
2 pt(s)
يحتوي كيس على ثمان كرات : أربع كرات بيضاء وثلاث كرات سوداء وكرة خضراء. جميع الكرات لا يمكن التمييز بينها باللمس. نسحب عشوائيا بالتتابع وبدون إحلال، ثلاث كرات من الكيس
1.تحقق أن عدد السحبات الممكنة هو 3360.25
2.أُحسب احتمال الحدث A : « سحب ثلاث كرات بيضاء »0.5
3.بين أن احتمال الحدث B : « سحب ثلاث كرات من نفس اللون » هو : p(B)=5560.75
4.أُحسب احتمال الحدث C « الحصول على لونين مختلفين على الأقل »0.5
Problème — التحليل
11 pt(s)
Partie I
يمثل الشكل جانبه المنحنيين (Cg) و (Ch)، للدالتين : g:x↦x1+x و h:x↦ln(1+x) على المجال ]−1,+∞[ والمستقيم ذي المعادلة y=x في نفس المعلم المتعامد الممنظم
Partie II
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=e−xln(1+ex). ليكن (Cf) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j)
1. a)علل انطلاقا من هذا الشكل أن : x1+x≤ln(1+x)≤x ، لكل x من المجال ]−1,+∞[0.5
1. b)استنتج أن : (1+x)ln(1+x)−x≥0 ، لكل x من المجال ]−1,+∞[0.25
1. c)بين أن : ex−(1+ex)ln(1+ex)≤0 ، لكل x من ℝ0.5
2. a)لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة بـ u0=1 والعلاقة un+1=g(un) لكل n من ℕ. بين بالترجع أن 0<un≤1 ، لكل n من ℕ0.5
2. b)بين أن المتتالية (un) تناقصية. (يمكن استعمال السؤال 1)-أ)0.5
2. c)استنتج أن المتتالية (un) متقاربة0.25
2. d)احسب نهاية المتتالية (un)0.75
1. a)احسب f(0) وتحقق أن f(x)>0 ، لكل x من ℝ0.5
1. b)بين أن limx→−∞f(x)=1 ثم أعط تأويلا هندسيا لهذه النتيجة0.5
1. c)بين أن limx→+∞f(x)=0 ثم أعط تأويلا هندسيا لهذه النتيجة0.5
2. a)بين أن f′(x)=11+ex−e−xln(1+ex) لكل x من ℝ0.5
2. b)تحقق أن f′(x)=ex−(1+ex)ln(1+ex)ex(1+ex) ، لكل x من ℝ0.5
2. c)استنتج أن f تناقصية قطعا على ℝ (يمكن استعمال السؤال 1)-ج من الجزء الأول)0.5
3. a)حدد معادلة المماس (T) للمنحنى (Cf) عند النقطة التي أفصولها 00.5
3. b)تحقق أن المماس (T) يمر من النقطة A(1,12)0.25
3. c)أنشئ (T) والمنحنى (Cf) في المعلم (O,i,j). (نأخذ ln 2≈0,7)0.75
4. a)بين أن f تقبل دالة عكسية f−1 معرفة على مجال J يتم تحديده. (تحديد f−1(x) غير مطلوب)0.5
4. b)تحقق أن f−1 قابلة للاشتقاق في ln 2 ثم أحسب (f−1)′(ln 2)0.5
5. a)ليكن λ عدد حقيقي موجب قطعا. تحقق أن 11+ex=e−x1+e−x ، لكل x من ℝ0.25
5. b)بين أن ∫0λ11+ex dx=ln(2)−ln(1+e−λ)0.5
5. c)بين أن ∫0λf(x) dx=ln(2)−f(λ)+∫0λ11+ex dx (لاحظ أن f(x)=11+ex−f′(x))0.5
5. d)استنتج بدلالة λ ، المساحة Aλ للحيز المحصور بين المنحنى (Cf) ومحور الأفاصيل والمستقيمين المعرفين بالمعادلتين x=0 و x=λ0.5
5. e)احسب النهاية limλ→+∞Aλ0.5