Sujet national
National 2024 · PC · SVT · session normale
NS-22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite (un) définie par u0=4 et un+1=4un−21+un, pour tout entier naturel n.
1. a)Vérifier que un+1=4−61+un, pour tout entier naturel n.0.25
1. b)Montrer par récurrence que 2≤un≤4, pour tout entier naturel n.0.5
2. a)Montrer que un+1−un=(un−1)(2−un)1+un, pour tout entier naturel n.0.25
2. b)Montrer que la suite (un) est décroissante et en déduire que (un) est convergente.0.5
3. a)Soit (vn) la suite numérique définie par vn=2−un1−un, pour tout entier naturel n. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 23.0.5
3. b)Montrer que un=1+11−(23)n+1, pour tout entier naturel n.0.5
3. c)Calculer la limite de la suite (un).0.5
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O,i,j,k), on considère les deux points A(−1,0,−1) et B(1,2,−1), le plan (P) passant par A et de vecteur normal n(2,−2,1), et la sphère (S) de centre Ω(2,−1,0) et de rayon 5.
1.Montrer que 2x−2y+z+3=0 est une équation cartésienne du plan (P).0.25
2.Déterminer une équation cartésienne de la sphère (S).0.25
3. a)Vérifier que la distance du point Ω au plan (P) est d(Ω,(P))=3.0.5
3. b)En déduire que le plan (P) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ) de rayon à déterminer.0.5
4. a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par Ω et perpendiculaire au plan (P).0.5
4. b)Montrer que le point H(0,1,−1) est le centre du cercle (Γ).0.5
4. c)Montrer que la droite (Δ) est une médiatrice du segment [AB].0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
4 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A et B d'affixes respectives a=√3(1−i) et b=2+√3+i.
1.Vérifier que |a|=√6 et que arg(a)≡−π4 [2π].0.5
2. a)Montrer que ba=3+√36+(1+√32)i puis vérifier que ba=3+√33eiπ3.0.75
2. b)En déduire une forme trigonométrique du complexe b puis vérifier que b24 est un nombre réel.0.75
3. a)Soit R la rotation de centre O et d'angle π6, qui transforme chaque point M du plan d'affixe z en un point M′ d'affixe z′. On pose R(B)=B′, R(A)=A′ et R(A′)=A″. Vérifier que z′=12(√3+i)z et que arg(a′)≡−π12 [2π], où a′ est l'affixe du point A′.0.5
3. b)Montrer que l'affixe du point A″ est a″=√6 eiπ12 et en déduire que les points O, A″ et B sont alignés.0.5
3. c)Montrer que b′, l'affixe du point B′, vérifie b′=(3+√33)a.0.5
3. d)En déduire que le triangle OAB′ est rectangle en O.0.5
Exercice 4 — Calcul des probabilités
2 pt(s)
Une urne contient sept boules : quatre boules portant le numéro 1, deux boules portant le numéro 2 et une boule portant le numéro 3. Toutes les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément au hasard deux boules de cette urne.
1.Montrer que p(A)=13, où A est l'évènement « les deux boules tirées portent le même numéro ».0.5
2.Montrer que p(B)=521, où B est l'évènement « La somme des numéros des boules tirées est 4 ».0.5
3.Calculer p(A∩B).0.5
4.Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier.0.5
Problème — Analyse
8 pt(s)
Partie I
On considère les deux fonctions u et v définies sur ℝ par u(x)=ex et v(x)=x. On note (Cu) et (Cv) leurs courbes représentatives.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie par f(x)=x+1−ln(ex−x). Soit (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1.Tracer dans un même repère orthonormé les courbes (Cu) et (Cv) des fonctions u et v.0.5
2.Justifier graphiquement que ex−x>0 pour tout x de ℝ.0.25
3.Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Cu), la courbe (Cv) et les droites d'équations x=0 et x=1.0.5
1. a)Vérifier que f est définie sur ℝ.0.25
1. b)Montrer que pour tout x∈ℝ, f(x)=1−ln(1−xe−x).0.5
1. c)En déduire que limx→+∞f(x)=1, puis interpréter géométriquement ce résultat.0.5
2. a)Calculer limx→−∞f(x).0.25
2. b)Vérifier que pour tout x<0, f(x)=x+1−ln(−x)−ln(1−1xe−x).0.5
2. c)Calculer limx→−∞f(x)x puis déduire que la courbe (Cf) admet une branche parabolique de direction la droite d'équation y=x au voisinage de −∞.0.75
3. a)Montrer que pour tout x∈ℝ : f′(x)=1−xex−x.0.5
3. b)Étudier le signe de la fonction dérivée de f, puis déduire le tableau de variations de f sur ℝ.0.5
3. c)Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique dans l'intervalle ]−1,0[.0.75
4. a)La courbe (Cf) ci-contre est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé. Justifier graphiquement que l'équation f(x)=x admet deux solutions α et β.0.5
4. b)Montrer que : eα−eβ=α−β.0.5
5. a)Soit g la restriction de la fonction f sur l'intervalle I=]−∞,1]. Montrer que g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera. (Il n'est pas demandé de déterminer g−1(x).)0.5
5. b)Vérifier que g−1 est dérivable en 1 et calculer (g−1)′(1).0.75