موضوع وطني
National 2024 · PC · SVT · session normale
NS-22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — التحليل
3 pt(s)
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=4 و un+1=4un−21+un لكل n من ℕ
1. a)تحقق أن لكل n من ℕ : un+1=4−61+un0.25
1. b)بين بالترجع أن لكل n من ℕ : 2≤un≤40.5
2. a)بين أن un+1−un=(un−1)(2−un)1+un لكل n من ℕ0.25
2. b)بين أن المتتالية (un) تناقصية واستنتج أن (un) متقاربة0.5
3. a)لتكن (vn) المتتالية المعرف ب : vn=2−un1−un ، لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 230.5
3. b)بين أن un=1+11−(23)n+1 لكل n من ℕ0.5
3. c)احسب نهاية المتتالية (un)0.5
Exercice 2 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O,i,j,k)، النقطتين A(−1,0,−1) و B(1,2,−1) والمستوى (P) المار من النقطة A و n(2,−2,1) متجهة منظمية عليه والفلكة (S) التي مركزها Ω(2,−1,0) وشعاعها 5
1.بين أن 2x−2y+z+3=0 معادلة ديكارتية للمستوى (P)0.25
2.حدد معادلة ديكارتية للفلكة (S)0.25
3. a)تحقق أن المسافة بين النقطة Ω والمستوى (P) هي d(Ω,(P))=30.5
3. b)استنتج أن المستوى (P) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة (Γ) يتم تحديد شعاعها0.5
4. a)حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم (Δ) المار من النقطة Ω والعمودي على المستوى (P)0.5
4. b)بين أن النقطة H(0,1,−1) هي مركز الدائرة (Γ)0.5
4. c)بين أن المستقيم (Δ) واسط للقطعة [AB]0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
4 pt(s)
في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، نعتبر النقطتين A و B اللتين لحقيهما على التوالي a=√3(1−i) و b=2+√3+i
1.تحقق أن |a|=√6 وأن arg(a)≡−π4 [2π]0.5
2. a)بين أن ba=3+√36+(1+√32)i ثم تحقق أن ba=3+√33eiπ30.75
2. b)استنتج شكلا مثلثيا للعدد العقدي b ثم تحقق أن b24 عدد حقيقي0.75
3. a)ليكن R الدوران الذي مركزه O وزاويته π6 والذي يحول كل نقطة M من المستوى ذات اللحق z الى النقطة M′ ذات اللحق z′. نضع R(B)=B′ و R(A)=A′ و R(A′)=A″. تحقق أن z′=12(√3+i)z وأن arg(a′)≡−π12 [2π] ، حيث a′ لحق النقطة A′0.5
3. b)بين أن لحق النقطة A″ هو a″=√6 eiπ12 واستنتج أن النقط O و A″ و B مستقيمية0.5
3. c)بين أن b′، لحق النقطة B′، يحقق b′=(3+√33)a0.5
3. d)استنتج أن المثلث OAB′ قائم الزاوية في O0.5
Exercice 4 — حساب الاحتمالات
2 pt(s)
يحتوي صندوق على سبع كرات : أربع كرات تحمل الرقم 1 وكرتان تحملان الرقم 2 وكرة تحمل الرقم 3 لا يمكن التمييز بين جميع الكرات باللمس. نسحب عشوائيا وتآنيا كرتين من الصندوق
1.بين أن p(A)=13 ، حيث A هو الحدث « الكرتان المسحوبتان تحملان نفس الرقم »0.5
2.بين أن p(B)=521 ، حيث B هو الحدث « مجموع رقمي الكرتين المسحوبتين يساوي 4 »0.5
3.احسب p(A∩B)0.5
4.هل الحدثان A و B مستقلان؟ علل جوابك0.5
Problème — التحليل
8 pt(s)
Partie I
نعتبر الدالتين العدديتين u و v المعرفتين على ℝ بما يلي : u(x)=ex و v(x)=x
Partie II
نعتبر الدالة العددية f المعرفة ب f(x)=x+1−ln(ex−x)
1.ارسم في نفس المعلم المتعامد الممنظم (Cu) و (Cv)، منحنيي الدالتين u و v0.5
2.بين مبيانيا أن ex−x>0 بالنسبة لكل x من ℝ0.25
3.احسب مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (Cu) والمنحنى (Cv) والمستقيمين اللذين معادلتيهما x=0 و x=10.5
1. a)تحقق أن f معرفة على ℝ0.25
1. b)بين أن f(x)=1−ln(1−xe−x) ، لكل x من ℝ0.5
1. c)استنتج أن limx→+∞f(x)=1 ثم أول هندسيا هذه النتيجة0.5
2. a)احسب limx→−∞f(x)0.25
2. b)تحقق أن f(x)=x+1−ln(−x)−ln(1−1xe−x) ، لكل x<00.5
2. c)احسب limx→−∞f(x)x ثم استنتج أن المنحنى (Cf) يقبل فرعا شلجميا، اتجاهه المستقيم الذي معادلته y=x بجوار −∞0.75
3. a)بين أن f′(x)=1−xex−x لكل x من ℝ0.5
3. b)ادرس إشارة الدالة المشتقة للدالة f ثم استنتج جدول تغيرات الدالة f على ℝ0.5
3. c)بين أن المعادلة f(x)=0 تقبل حلا وحيدا في المجال ]−1,0[0.75
4. a)المنحنى (Cf) جانبه هو التمثيل المبياني للدالة f في معلم متعامد ممنظم. بين مبيانيا أن المعادلة f(x)=x تقبل حلين α و β0.5
4. b)بين أن eα−eβ=α−β0.5
5. a)لتكن g قصور الدالة f على المجال I=]−∞,1]. بين أن g تقبل دالة عكسية g−1 معرفة على مجال J يتم تحديده. (تحديد g−1(x) غير مطلوب)0.5
5. b)تحقق أن g−1 قابلة للاشتقاق في النقطة 1 واحسب (g−1)′(1)0.75