Sujet national
National 2023 · PC · SVT · session normale
NS-22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(0,1,4), B(2,1,2), C(2,5,0) et Ω(3,4,4).
1. a)Montrer que AB∧AC=4(2i+j+2k).0.25
1. b)En déduire l'aire du triangle ABC et la distance d(B,(AC)).0.5
2. a)Soit D le milieu du segment [AC]. Vérifier que DΩ=14(AB∧AC).0.25
2. b)En déduire que d(Ω,(ABC))=3.0.5
3. a)Soit (S) la sphère d'équation x2+y2+z2−6x−8y−8z+32=0. Déterminer le centre et le rayon de la sphère (S).0.5
3. b)Montrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S) en un point que l'on déterminera.0.5
4.Soient (Q1) et (Q2) les deux plans parallèles à (ABC) tels que chacun d'eux coupe (S) suivant un cercle de rayon √5. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des deux plans (Q1) et (Q2).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a=√2+i√2, b=1+√2+i, c=b et d=2i.
1.Écrire le nombre complexe a sous forme trigonométrique.0.25
2. a)Vérifier que b−d=c.0.25
2. b)Montrer que (√2+1)(b−a)=b−d et déduire que les points A, B et D sont alignés.0.5
3. a)Vérifier que ac=2b.0.25
3. b)En déduire que 2arg(b)≡π4 [2π].0.5
4. a)Soit R la rotation de centre O et d'angle π4 et qui transforme chaque point M du plan d'affixe z en un point M′ d'affixe z′. Montrer que z′=12az.0.25
4. b)En déduire que R(C)=B et que R(A)=D.0.5
4. c)Montrer que b−ac−a=(√2−12)a, puis déduire une mesure de l'angle (AC,AB).0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne U1 contient six boules portant les nombres 0 ; 0 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 et une urne U2 contient cinq boules portant les nombres 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2. On suppose que les boules des deux urnes sont indiscernables au toucher. On considère l'expérience aléatoire suivante : « On tire une boule de l'urne U1 et on note le nombre a qu'elle porte, puis on la met dans l'urne U2, ensuite on tire une boule de l'urne U2 et on note le nombre b qu'elle porte. » On considère les événements suivants : A : « la boule tirée de l'urne U1 porte le nombre 1 » ; B : « le produit ab est égal à 2 ».
1. a)Calculer p(A) ; la probabilité de l'événement A.0.5
1. b)Montrer que p(B)=14. (On peut utiliser l'arbre des possibilités.)0.5
2.Calculer p(A/B) ; probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé.0.75
3. a)Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque résultat de l'expérience le produit ab. Montrer que p(X=0)=13.0.25
3. b)Donner la loi de probabilité de X. (Remarquer que les valeurs prises par X sont 0 ; 1 ; 2 et 4.)0.5
3. c)On considère les événements M : « le produit ab est pair non nul » et N : « le produit ab est égal à 1 ». Montrer que les événements M et N sont équiprobables.0.5
Problème — Analyse
11 pt(s)
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par f(x)=2−2x+(1−ln x)2. Soit (Cf) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm). Le sujet fournit, pour sa question 3, le tableau de variations de la fonction dérivée f′ sur ]0,+∞[ : f′ décroît de +∞ (en 0+) jusqu'à 0 en x=1, croît de 0 jusqu'à f′(β) en x=β, puis décroît de f′(β) jusqu'à 0 en +∞ (on donne β≈4,9).
1. a)Vérifier que pour tout x∈]0,+∞[ : f(x)=3x−2−2xln x+x(ln x)2x.0.25
1. b)Montrer que limx→0+x(ln x)2=0 et que limx→+∞(ln x)2x=0. (On peut poser t=√x.)0.5
1. c)Déduire que limx→0+f(x)=−∞, puis donner une interprétation géométrique du résultat.0.5
1. d)Calculer limx→+∞f(x), puis montrer que la courbe (Cf) admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de +∞.0.75
2.Montrer que pour tout x∈]0,+∞[ : f′(x)=2(1−x+xln x)x2.0.5
3. a)En exploitant le tableau de variations de la fonction dérivée f′ de f sur ]0,+∞[ : prouver que f est strictement croissante sur ]0,+∞[ puis dresser le tableau de variations de f.0.5
3. b)Donner le tableau de signe de la dérivée seconde f″ de la fonction f sur ]0,+∞[.0.5
3. c)Déduire la concavité de la courbe (Cf) en précisant les abscisses de ses deux points d'inflexion.1
4. a)La courbe (Cg) ci-contre est la représentation graphique de la fonction g:x↦f(x)−x et qui s'annule en α et 1 (avec α≈0,3). Soit (Δ) la droite d'équation y=x. À partir de la courbe (Cg), déterminer le signe de la fonction g sur ]0,+∞[.0.5
4. b)Déduire que la droite (Δ) est en dessous de (Cf) sur l'intervalle [α,1] et au-dessus de (Cf) sur les intervalles ]0,α] et [1,+∞[.0.5
5.Construire la courbe (Cf) et la droite (Δ) dans le repère (O,i,j). (On prend α≈0,3, β≈4,9 et f(β)≈1,9.)1.5
6. a)Vérifier que la fonction x↦2x−xln x est une primitive de la fonction x↦1−ln x sur [α,1].0.5
6. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫α1(1−ln x)2 dx=5(1−α)+α(4−lnα)lnα.1
6. c)Déduire en fonction de α l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe (Cf), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=α et x=1.0.75
7. a)Soit la suite numérique (un) définie par u0∈]α,1[ et la relation un+1=f(un), pour tout n∈ℕ. Montrer par récurrence que α<un<1, pour tout n de ℕ.0.5
7. b)Montrer que la suite (un) est croissante. (On peut utiliser la question 4-b.)0.5
7. c)En déduire que la suite (un) est convergente et calculer sa limite.0.75