Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، نعتبر النقط A(0,1,4) وB(2,1,2) وC(2,5,0) وΩ(3,4,4).
1. a)بين أن AB∧AC=4(2i+j+2k)0.25
1. b)استنتج مساحة المثلث ABC والمسافة d(B,(AC))0.5
2. a)لتكن D منتصف القطعة [AC]. تحقق أن DΩ=14(AB∧AC)0.25
2. b)استنتج أن d(Ω,(ABC))=30.5
3. a)لتكن (S) الفلكة ذات المعادلة x2+y2+z2−6x−8y−8z+32=0. حدد مركز وشعاع الفلكة (S)0.5
3. b)بين أن المستوى (ABC) مماس للفلكة (S) في نقطة ينبغي تحديدها0.5
4.ليكن (Q1) و(Q2) المستويين الموازيين لـ (ABC) بحيث يقطع كل واحد منهما (S) وفق دائرة شعاعها √5. حدد معادلة ديكارتية لكل من المستويين (Q1) و(Q2)0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، نعتبر النقط A وB وC وD التي ألحاقها على التوالي a=√2+i√2 وb=1+√2+i وc=b وd=2i.
1.أكتب العدد العقدي a على الشكل المثلثي0.25
2. a)تحقق أن b−d=c0.25
2. b)بين أن (√2+1)(b−a)=b−d واستنتج أن النقط A وB وD مستقيمية0.5
3. a)تحقق أن ac=2b0.25
3. b)استنتج أن 2arg(b)≡π4 [2π]0.5
4. a)نعتبر الدوران R الذي مركزه O وزاويته π4، والذي يحول كل نقطة M من المستوى ذات اللحق z إلى النقطة M′ ذات اللحق z′. بين أن z′=12az0.25
4. b)استنتج أن R(C)=B وأن R(A)=D0.5
4. c)بين أن b−ac−a=(√2−12)a ثم استنتج قياسا للزاوية (AC,AB)0.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق U1 على ست كرات تحمل الأعداد 0 ؛ 0 ؛ 1 ؛ 1 ؛ 1 ؛ 2 ويحتوي صندوق U2 على خمس كرات تحمل الأعداد 1 ؛ 1 ؛ 1 ؛ 2 ؛ 2. نفترض أنه لا يمكن التمييز بين كرات الصندوقين باللمس. نعتبر التجربة العشوائية التالية : « نسحب كرة من الصندوق U1 ونسجل العدد a الذي تحمله، ثم نضعها في الصندوق U2 وبعد ذلك نسحب كرة من الصندوق U2 ونسجل العدد b الذي تحمله. » نعتبر الحدثين التاليين : A : « الكرة المسحوبة من الصندوق U1 تحمل العدد 1 » ؛ B : « الجداء ab يساوي 2 ».
1. a)أحسب p(A)، احتمال الحدث A0.5
1. b)بين أن p(B)=14 (يمكن استعمال شجرة الإمكانيات)0.5
2.أحسب p(A/B)، احتمال الحدث A علما أن الحدث B محقق.0.75
3. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل نتيجة للتجربة بالجداء ab. بين أن p(X=0)=13.0.25
3. b)اعط قانون احتمال X (لاحظ أن القيم التي يأخذها X هي 0 و1 و2 و4)0.5
3. c)نعتبر الحدثين M : « الجداء ab زوجي غير منعدم » وN : « الجداء ab يساوي 1 ». بين أن الحدثين M وN متساويا الاحتمال.0.5
Problème — التحليل
11 pt(s)
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي f(x)=2−2x+(1−ln x)2. وليكن (Cf) المنحنى الممثل للدالة في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 1 cm). ويعطي الموضوع، في سؤاله 3، جدول تغيرات الدالة المشتقة f′ على ]0,+∞[ : تتناقص f′ من +∞ (في 0+) إلى 0 عند x=1، ثم تتزايد من 0 إلى f′(β) عند x=β، ثم تتناقص من f′(β) إلى 0 في +∞ (نعطي β≈4,9).
1. a)تحقق أن لكل x∈]0,+∞[ : f(x)=3x−2−2xln x+x(ln x)2x0.25
1. b)بين أن limx→0+x(ln x)2=0 وأن limx→+∞(ln x)2x=0 (يمكن وضع t=√x)0.5
1. c)استنتج أن limx→0+f(x)=−∞ ثم أعط تأويلا هندسيا للنتيجة.0.5
1. d)احسب limx→+∞f(x) ثم بين أن المنحنى (Cf) يقبل فرعا شلجميا، اتجاهه محور الأفاصيل بجوار +∞0.75
2.بين أن لكل x∈]0,+∞[ : f′(x)=2(1−x+xln x)x20.5
3. a)باستثمار جدول التغيرات أسفله للدالة المشتقة f′ للدالة f على المجال ]0,+∞[ : أثبت أن الدالة f تزايدية قطعا على المجال ]0,+∞[ ثم ضع جدول تغيرات f.0.5
3. b)أنشئ جدول إشارة الدالة المشتقة الثانية f″ للدالة f على المجال ]0,+∞[0.5
3. c)استنتج تقعر المنحنى (Cf) محددا أفصولي نقطتي انعطافه.1
4. a)المنحنى (Cg) جانبه، تمثيل مبياني للدالة g:x↦f(x)−x والتي تنعدم في α و1 (مع α≈0,3). ليكن (Δ) المستقيم ذو المعادلة y=x. انطلاقا من المنحنى (Cg)، حدد إشارة الدالة g على ]0,+∞[0.5
4. b)استنتج أن المستقيم (Δ) يوجد تحت (Cf) على المجال [α,1] وفوق (Cf) على كل من ]0,α] و[1,+∞[0.5
5.أنشئ المنحنى (Cf) والمستقيم (Δ) في المعلم (O,i,j) (نأخذ α≈0,3 وβ≈4,9 وf(β)≈1,9)1.5
6. a)تحقق أن الدالة x↦2x−xln x دالة أصلية للدالة x↦1−ln x على [α,1]0.5
6. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن ∫α1(1−ln x)2 dx=5(1−α)+α(4−lnα)lnα1
6. c)استنتج بدلالة α مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (Cf) ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتيهما : x=α وx=10.75
7. a)لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة بـ u0∈]α,1[ والعلاقة un+1=f(un)، لكل n∈ℕ. بين بالترجع أن α<un<1، لكل n من ℕ0.5
7. b)بين أن المتتالية (un) تزايدية (يمكن استعمال السؤال 4-ب).0.5
7. c)استنتج أن المتتالية (un) متقاربة واحسب نهايتها.0.75