Sujet national
National 2022 · PC · SVT · session rattrapage
RS-22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
2.5 pt(s)
Soit (un) la suite numérique définie par u0=2 et un+1=√22un+2−√22 pour tout n de ℕ.
1. a)Montrer que pour tout n de ℕ : un>1.0.5
1. b)Montrer que pour tout n de ℕ : un+1−un=√2−22(un−1) et déduire que la suite (un) est décroissante et convergente.0.75
2. a)On pose pour tout n de ℕ : vn=un−1. Montrer que (vn) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.0.5
2. b)Écrire un en fonction de n puis déduire la limite de la suite (un).0.5
2. c)Calculer la somme S=u0+u1+u2+…+u2021.0.25
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les deux points A(1,−1,1) et B(5,1,−3). Soit (S) la sphère de centre Ω(3,0,−1) et de rayon R=3, et (Δ) la droite passant par le point A et de vecteur directeur u(2,−2,1).
1. a)Calculer la distance ΩA.0.25
1. b)Montrer que les droites (Δ) et (ΩA) sont perpendiculaires.0.5
1. c)Déduire la position relative de la droite (Δ) et de la sphère (S).0.25
2.Soit le point Ma(2a−3,3−2a,a−1) où a∈ℝ. Montrer que AMa=(a−2)u et déduire que Ma∈(Δ) pour tout a∈ℝ.0.5
3. a)Vérifier que 2x−2y+z−9a+13=0 est une équation du plan (Pa) passant par Ma et perpendiculaire à la droite (Δ).0.5
3. b)Montrer que d(Ω,(Pa))=|3a−6|.0.5
3. c)Déterminer les deux valeurs de a pour lesquelles le plan (Pa) est tangent à la sphère (S).0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives ZA=1+5i, ZB=1−5i et ZC=5−3i.
1.Déterminer le nombre complexe ZD, affixe du point D milieu du segment [AC].0.25
2.Soit h l'homothétie de centre A et de rapport 12. Déterminer le nombre complexe ZE, affixe du point E image de B par h.0.5
3.On considère la rotation R de centre C et d'angle (−π2) ; déterminer l'image de B par R.0.5
4. a)Soit F le point d'affixe ZF=−1+i. Vérifier que ZD−ZAZF−ZA×ZF−ZEZD−ZE=−1.0.25
4. b)En déduire que (AF,AD)+(ED,EF)≡π [2π].0.5
4. c)Déterminer la forme trigonométrique du nombre ZE−ZFZA−ZF et déduire la nature du triangle AEF.0.5
4. d)Déduire que les points A, D, E et F appartiennent à un cercle dont on déterminera un diamètre.0.5
Exercice 4 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient trois boules blanches, quatre boules rouges et cinq boules vertes, indiscernables au toucher. On tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne.
1. a)On considère les événements suivants : A : « Obtenir exactement deux boules rouges » et B : « Obtenir exactement une boule verte ». Montrer que p(A)=1255 et p(B)=2144.0.75
1. b)Calculer p(A/B), la probabilité de l'événement A sachant que l'événement B est réalisé. Les événements A et B sont-ils indépendants ?0.75
2. a)Soit la variable aléatoire X qui associe à chaque tirage le nombre de boules vertes tirées. Déterminer la loi de probabilité de X.1
2. b)Calculer la probabilité d'obtenir au moins deux boules vertes.0.5
Problème — Analyse
8.5 pt(s)
Soit f la fonction numérique définie sur [0,+∞[ par f(x)=x4(ln x−1)2 ; x>0f(0)=0 et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
1.Calculer limx→+∞f(x) puis déterminer la branche infinie de (C) au voisinage de +∞.0.75
2. a)Montrer que f est continue à droite en 0.0.5
2. b)Étudier la dérivabilité de f à droite en 0 puis interpréter le résultat géométriquement.0.5
3. a)Montrer que f′(x)=2x3(ln x−1)(2ln x−1) pour tout x de l'intervalle ]0,+∞[.0.75
3. b)Dresser le tableau de variations de f.0.5
4. a)Sachant que f″(x)=2x2(6ln x−5)ln x pour tout x de l'intervalle ]0,+∞[, étudier le signe de f″(x) sur ]0,+∞[.0.5
4. b)Déduire que la courbe (C) admet deux points d'inflexion dont on déterminera les abscisses.0.5
5. a)Construire la courbe (C) dans le repère (O,i,j). (On prend √e≈1,6 et e2≈7,2.)1
5. b)En utilisant la courbe (C), déterminer le nombre de solutions de l'équation x2(ln x−1)=−1.0.5
6. a)On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x)=f(|x|). Montrer que la fonction g est paire.0.5
6. b)Construire (Cg), la courbe représentative de g, dans le même repère (O,i,j).0.5
7. a)On pose I=∫1ex4(ln x−1) dx. En utilisant une intégration par parties, montrer que I=6−e525.0.5
7. b)On considère la fonction h définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par h(x)=x5(ln x−1)2. Vérifier que h′(x)=5f(x)+2x4(ln x−1).0.5
7. c)Déduire que ∫1ef(x) dx=−15−25I.0.5
7. d)Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e.0.5