موضوع وطني
National 2022 · PC · SVT · session rattrapage
RS-22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — التحليل
2.5 pt(s)
نعتبر المتتالية (un) المعرفة بما يلي: u0=2 و un+1=√22un+2−√22 لكل n من ℕ
1. a)بين أن لكل n من ℕ : un>10.5
1. b)بين أن لكل n من ℕ : un+1−un=√2−22(un−1) واستنتج أن المتتالية (un) تناقصية ومتقاربة0.75
2. a)نضع لكل n من ℕ، vn=un−1. بين أن (vn) متتالية هندسية وحدد أساسها وحدها الأول0.5
2. b)اكتب un بدلالة n ثم استنتج نهاية المتتالية (un)0.5
2. c)احسب المجموع S=u0+u1+u2+…+u20210.25
Exercice 2 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، نعتبر النقطتين A(1,−1,1) و B(5,1,−3). لتكن (S) الفلكة التي مركزها Ω(3,0,−1) و شعاعها R=3، و المستقيم (Δ) المار من النقطة A والموجه بالمتجهة u(2,−2,1)
1. a)احسب المسافة ΩA0.25
1. b)بين أن المستقيمين (Δ) و (ΩA) متعامدان0.5
1. c)استنتج الوضع النسبي للمستقيم (Δ) والفلكة (S)0.25
2.لتكن النقطة Ma(2a−3,3−2a,a−1) حيث a∈ℝ، بين أن AMa=(a−2)u واستنتج أن Ma∈(Δ) لكل عدد a من ℝ0.5
3. a)تحقق أن 2x−2y+z−9a+13=0 معادلة للمستوى (Pa) المار من Ma والعمودي على المستقيم (Δ)0.5
3. b)بين أن d(Ω,(Pa))=|3a−6|0.5
3. c)حدد قيمتي a اللتين من أجلهما يكون المستوى (Pa) مماسا للفلكة (S)0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
في المستوى العقدي المنسوب الى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، نعتبر النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي ZA=1+5i و ZB=1−5i و ZC=5−3i
1.حدد العدد العقدي ZD لحق النقطة D منتصف القطعة [AC]0.25
2.ليكن h التحاكي الذي مركزه A ونسبته 12. حدد العدد العقدي ZE لحق النقطة E صورة B بالتحاكي h0.5
3.نعتبر الدوران R الذي مركزه C وزاويته (−π2). حدد صورة B بالدوران R0.5
4. a)لتكن F النقطة من المستوى العقدي التي لحقها ZF=−1+i. تحقق أن: ZD−ZAZF−ZA×ZF−ZEZD−ZE=−10.25
4. b)استنتج أن (AF,AD)+(ED,EF)≡π [2π]0.5
4. c)حدد الشكل المثلثي للعدد ZE−ZFZA−ZF واستنتج طبيعة المثلث AEF0.5
4. d)استنتج أن النقط A و D و E و F تنتمي الى دائرة يتم تحديد قطر لها0.5
Exercice 4 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي كيس على ثلاث كرات بيضاء وأربع كرات حمراء وخمس كرات خضراء لا يمكن التمييز بينها باللمس. نسحب عشوائيا وتآنيا ثلاث كرات من الكيس.
1. a)ليكن الحدثان: A "الحصول على كرتين حمراوين بالضبط" و B "الحصول على كرة خضراء واحدة فقط". تحقق أن p(A)=1255 و p(B)=21440.75
1. b)أحسب p(A/B)، احتمال الحدث A علما أن الحدث B محقق. هل الحدثان A و B مستقلان ؟0.75
2. a)نعتبر المتغير العشوائي X الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الخضراء المسحوبة. حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X1
2. b)احسب احتمال الحصول على كرتين خضراوين على الأقل0.5
Problème — التحليل
8.5 pt(s)
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على [0,+∞[ بما يلي : f(x)=x4(ln x−1)2 ; x>0f(0)=0 و (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 1 cm)
1.أحسب limx→+∞f(x) ثم حدد الفرع اللانهائي للمنحنى (C) بجوار +∞0.75
2. a)بين أن الدالة f متصلة على اليمين في 00.5
2. b)أدرس قابلية اشتقاق الدالة f على اليمين في 0 ثم أول النتيجة هندسيا0.5
3. a)بين أن f′(x)=2x3(ln x−1)(2ln x−1) لكل x من المجال ]0,+∞[0.75
3. b)ضع جدول تغيرات الدالة f0.5
4. a)علما أن لكل x من المجال ]0,+∞[ لدينا f″(x)=2x2(6ln x−5)ln x ادرس إشارة f″(x) على المجال ]0,+∞[0.5
4. b)استنتج أن المنحنى (C) يقبل نقطتي انعطاف يتم تحديد أفصوليهما0.5
5. a)أنشئ المنحنى (C) في المعلم (O,i,j) (نأخذ : √e≈1,6 و e2≈7,2)1
5. b)باستعمال المنحنى (C) حدد عدد حلول المعادلة x2(ln x−1)=−10.5
6. a)نعتبر الدالة العددية g المعرفة على ℝ بما يلي : g(x)=f(|x|). بين أن الدالة g زوجية0.5
6. b)أنشئ (Cg) المنحنى الممثل للدالة g في نفس المعلم (O,i,j)0.5
7. a)نضع I=∫1ex4(ln x−1) dx، باستعمال مكاملة بالأجزاء، أثبت أن I=6−e5250.5
7. b)نعتبر الدالة العددية h المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : h(x)=x5(ln x−1)2. تحقق من أن: h′(x)=5f(x)+2x4(ln x−1)0.5
7. c)استنتج أن: ∫1ef(x) dx=−15−25I0.5
7. d)احسب مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) ومحور الأفاصيل والمستقيمين اللذين معادلتيهما x=1 و x=e0.5