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Sujet national
National 2021 · PC · SVT · session normale
Exercice 1 — Analyse
2 pt(s)1. a)Résoudre dans ℝ l'équation : e2x−4ex+3=0.0.5
1. b)Résoudre dans ℝ l'inéquation : e2x−4ex+3≤0.0.5
1. c)Calculer limx→0e2x−4ex+3e2x−1.0.5
2.Montrer que l'équation e2x+ex+4x=0 admet une solution dans l'intervalle [−1,0].0.5
Exercice 2 — Analyse
4 pt(s)Soit (un) la suite numérique définie par : u0=12 et un+1=un3−2un pour tout n de ℕ.
1.Calculer u1.0.25
2.Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, 0<un≤12.0.5
3. a)Montrer que pour tout n de ℕ, un+1un≤12.0.5
3. b)En déduire la monotonie de la suite (un).0.5
4. a)Montrer que pour tout n de ℕ, 0<un≤(12)n+1 ; puis calculer la limite de la suite (un).0.75
4. b)On pose vn=ln(3−2un) pour tout n de ℕ, calculer limn→+∞ vn.0.5
5. a)Vérifier que pour tout n de ℕ, 1un+1−1=3(1un−1).0.5
5. b)En déduire un en fonction de n pour tout n de ℕ.0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
5 pt(s)1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes, l'équation : z2−√3z+1=0.0.75
2. a)Soient les nombres complexes a=eiπ6 et b=32+i√32. Écrire a sous forme algébrique.0.25
2. b)Vérifier que ab=√3.0.5
3.Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a, b et a. Montrer que le point B est l'image du point A par une homothétie h de centre O dont on déterminera le rapport.0.5
4. a)Soient z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre A et d'angle π2. Écrire z′ en fonction de z et a.0.5
4. b)Soit d l'affixe du point D image de C par la rotation R, montrer que d=a+1.0.25
4. c)Soit I le point d'affixe le nombre 1, montrer que ADIO est un losange.0.5
5. a)Vérifier que d−b=√3−12(1−i) ; en déduire un argument du nombre d−b.0.75
5. b)Écrire le nombre 1−b sous forme trigonométrique.0.5
5. c)Déduire une mesure de l'angle (BI,BD).0.5
Problème — Analyse
9 pt(s)Soit la fonction f définie sur [0,+∞[ par :f(x)=2xln x−2xsi x>00si x=0,et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
1.Montrer que f est continue à droite au point 0.0.5
2. a)Calculer limx→+∞f(x).0.5
2. b)Calculer limx→+∞f(x)x puis interpréter géométriquement le résultat.0.5
3. a)Calculer limx→0+f(x)x et interpréter géométriquement le résultat.0.75
3. b)Calculer f′(x) pour tout x de ]0,+∞[.0.5
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur [0,+∞[.0.5
4. a)Résoudre dans l'intervalle ]0,+∞[ les équations f(x)=0 et f(x)=x.0.5
4. b)Construire la courbe (C) dans le repère (O,i,j) (on prend e32≃4,5).1
5. a)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫1exln x dx=1+e24.0.5
5. b)En déduire : ∫1ef(x) dx.0.5
6. a)Déterminer le minimum de f sur ]0,+∞[.0.25
6. b)En déduire que pour tout x de ]0,+∞[, ln x≥x−1x.0.5
7. a)Soit g la restriction de la fonction f à l'intervalle [1,+∞[. Montrer que la fonction g admet une fonction réciproque g−1 définie sur un intervalle J qu'on déterminera.0.5
7. b)Construire dans le même repère (O,i,j) la courbe représentative de la fonction g−1.0.75
8. a)On considère la fonction h définie sur ℝ par h(x)=x3+3x ; x≤0h(x)=2xln x−2x ; x>0. Étudier la continuité de h au point 0.0.5
8. b)Étudier la dérivabilité de la fonction h à gauche au point 0 puis interpréter géométriquement le résultat.0.5
8. c)La fonction h est-elle dérivable au point 0 ? Justifier.0.25
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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