Sujet national
National 2020 · PC · SVT · session normale
NS 22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
4 pt(s)
Soit (un) la suite numérique définie par : u0=32 et un+1=2un2un+5 pour tout n de ℕ.
1.Calculer u1.0.25
2.Montrer par récurrence que pour tout n de ℕ, un>0.0.5
3. a)Montrer que pour tout n de ℕ, 0<un+1≤25un puis en déduire que pour tout n de ℕ, 0<un≤32(25)n.1
3. b)Calculer limn→+∞un.0.5
4. a)On considère la suite numérique (vn) définie par vn=4un2un+3 pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 25.0.75
4. b)Déterminer vn en fonction de n et en déduire un en fonction de n pour tout n de ℕ, où vn=4un2un+3.1
Exercice 2 — Nombres complexes
5 pt(s)
Dans l'ensemble ℂ des nombres complexes, on considère l'équation (E) : z2−2(√2+√6)z+16=0. Soient les nombres complexes a=(√6+√2)+i(√6−√2), b=1+i√3 et c=√2+i√2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points B, C et D d'affixes respectives b, c et d telle que d=a4. Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe de M′ image de M par la rotation R de centre O et d'angle π12.
1. a)Vérifier que le discriminant de l'équation (E) est Δ=−4(√6−√2)2.0.5
1. b)En déduire les solutions de l'équation (E).1
2. a)Vérifier que bc=a, puis en déduire que ac=4b.0.75
2. b)Écrire les nombres complexes b et c sous forme trigonométrique.0.5
2. c)En déduire que a=4(cosπ12+isinπ12).0.5
3. a)Vérifier que z′=14az.0.5
3. b)Déterminer l'image du point C par la rotation R.0.25
3. c)Déterminer la nature du triangle OBC.0.25
3. d)Montrer que a4=128b et en déduire que les points O, B et D sont alignés.0.75
Exercice 3 — Analyse
4 pt(s)
On considère la fonction numérique g définie sur ]0,+∞[ par g(x)=2√x−2−ln x.
1. a)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, g′(x)=√x−1x.0.5
1. b)Montrer que g est croissante sur [1,+∞[.0.5
1. c)En déduire que pour tout x de [1,+∞[, 0≤ln x≤2√x (remarquer que 2√x−2≤2√x).0.5
1. d)Montrer que pour tout x de [1,+∞[, 0≤(ln x)3x2≤8√x et en déduire limx→+∞(ln x)3x2.1
2. a)Montrer que la fonction G:x↦x(−1+43√x−ln x) est une primitive de g sur ]0,+∞[.0.75
2. b)Calculer l'intégrale ∫14g(x) dx.0.75
Problème — Analyse
7 pt(s)
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par f(x)=−x+52−12ex−2(ex−2−4) et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 2 cm).
1.Montrer que limx→−∞f(x)=+∞ et limx→+∞f(x)=−∞.0.5
2. a)Démontrer que la droite (Δ) d'équation y=−x+52 est une asymptote à la courbe (C) au voisinage de −∞.0.5
2. b)Résoudre l'équation ex−2−4=0 puis montrer que la courbe (C) est au-dessus de (Δ) sur l'intervalle ]−∞,2+ln 4] et en dessous de (Δ) sur l'intervalle [2+ln 4,+∞[.0.75
3.Montrer que limx→+∞f(x)x=−∞ puis interpréter géométriquement le résultat.0.5
4. a)Montrer que pour tout x de ℝ, f′(x)=−(ex−2−1)2.0.5
4. b)Dresser le tableau de variations de la fonction f.0.25
5.Calculer f″(x) pour tout x de ℝ puis montrer que A(2,2) est un point d'inflexion de (C).0.75
6.Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α telle que 2+ln 3<α<2+ln 4.0.5
7.Construire (Δ) et (C) dans le repère (O,i,j) ci-dessous (on prend ln 2≃0,7 et ln 3≃1,1).1
8. a)Montrer que la fonction f admet une fonction réciproque f−1 définie sur ℝ.0.5
8. b)Construire dans le même repère (O,i,j) la courbe représentative de la fonction f−1 (remarquer que la droite (Δ) est perpendiculaire à la première bissectrice du repère).0.75
8. c)Calculer (f−1)′(2−ln 3) (remarquer que f−1(2−ln 3)=2+ln 3).0.5