موضوع وطني
National 2020 · PC · SVT · session normale
NS 22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — التحليل
4 pt(s)
لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة كما يلي : u0=32 و un+1=2un2un+5 لكل n من ℕ.
1.احسب u10.25
2.بين بالترجع أن لكل n من ℕ ، un>00.5
3. a)بين أن 0<un+1≤25un لكل n من ℕ ، ثم استنتج أن 0<un≤32(25)n لكل n من ℕ1
3. b)احسب النهاية limn→+∞un0.5
4. a)نعتبر (vn) المتتالية العددية المعرفة ب vn=4un2un+3 لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 250.75
4. b)حدد vn بدلالة n ثم استنتج un بدلالة n لكل n من ℕ1
Exercice 2 — الأعداد العقدية
5 pt(s)
نعتبر في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : (E) : z2−2(√2+√6)z+16=0. نعتبر الأعداد العقدية : a=(√6+√2)+i(√6−√2) و b=1+i√3 و c=√2+i√2. في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، نعتبر النقط B و C و D التي ألحاقها على التوالي هي b و c و d ، حيث d=a4. ليكن z لحق نقطة M و z′ لحق النقطة M′ صورة النقطة M بالدوران R الذي مركزه O و زاويته π12.
1. a)تحقق من أن مميز المعادلة (E) هو Δ=−4(√6−√2)20.5
1. b)استنتج حلي المعادلة (E)1
2. a)تحقق من أن bc=a و استنتج أن ac=4b0.75
2. b)أكتب العددين العقديين b و c على الشكل المثلثي0.5
2. c)استنتج أن a=4(cosπ12+isinπ12)0.5
3. a)تحقق أن z′=14az0.5
3. b)حدد صورة النقطة C بالدوران R0.25
3. c)حدد طبيعة المثلث OBC0.25
3. d)بين أن a4=128b و استنتج أن النقط O و B و D مستقيمية0.75
Exercice 3 — التحليل
4 pt(s)
نعتبر الدالة العددية g المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=2√x−2−ln x.
1. a)بين أن لكل x من المجال ]0,+∞[ ، g′(x)=√x−1x0.5
1. b)بين أن الدالة g تزايدية قطعا على المجال [1,+∞[0.5
1. c)استنتج أن لكل x من المجال [1,+∞[ ، 0≤ln x≤2√x ( لاحظ أن 2√x−2≤2√x )0.5
1. d)بين أن لكل x من المجال [1,+∞[ ، 0≤(ln x)3x2≤8√x ثم استنتج النهاية limx→+∞(ln x)3x21
2. a)بين أن الدالة G المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : G(x)=x(−1+43√x−ln x) هي دالة أصلية للدالة g0.75
2. b)احسب التكامل ∫14g(x) dx0.75
Problème — التحليل
7 pt(s)
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=−x+52−12ex−2(ex−2−4) و (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 2 cm).
1.بين أن limx→−∞f(x)=+∞ و أن limx→+∞f(x)=−∞0.5
2. a)برهن أن المستقيم (Δ) الذي معادلته y=−x+52 مقارب للمنحنى (C) بجوار −∞0.5
2. b)حل المعادلة ex−2−4=0 ثم بين أن المنحنى (C) يوجد تحت (Δ) على المجال [2+ln 4,+∞[ و فوق (Δ) على المجال ]−∞,2+ln 4]0.75
3.بين أن : limx→+∞f(x)x=−∞ ثم أول النتيجة هندسيا0.5
4. a)بين أن لكل x من ℝ : f′(x)=−(ex−2−1)20.5
4. b)ضع جدول تغيرات الدالة f0.25
5.احسب f″(x) لكل x من ℝ ثم بين أن A(2,2) نقطة انعطاف للمنحنى (C)0.75
6.أثبت أن المعادلة f(x)=0 تقبل حلا وحيدا α بحيث 2+ln 3<α<2+ln 40.5
7.أنشئ (Δ) و (C) في نفس المعلم (O,i,j) ( نأخذ القيمتين المقربتين التاليتين : ln 2≃0,7 و ln 3≃1,1 )1
8. a)بين أن الدالة f تقبل دالة عكسية f−1 معرفة على ℝ0.5
8. b)أنشئ في نفس المعلم (O,i,j) المنحنى الممثل للدالة f−1 ( لاحظ أن المستقيم (Δ) عمودي على المنصف الأول للمعلم )0.75
8. c)أحسب (f−1)′(2−ln 3) ( لاحظ أن f−1(2−ln 3)=2+ln 3 )0.5