Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(1,2,2), B(3,−1,6) et C(1,1,3).
1. a)Vérifier que AB∧AC=i−2j−2k.0.75
1. b)En déduire que x−2y−2z+7=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.5
2.Soient les points E(5,1,4) et F(−1,1,12), et (S) l'ensemble des points M vérifiant ME·MF=0. Montrer que (S) est la sphère de centre Ω(2,1,8) et de rayon R=5.0.75
3. a)Calculer d(Ω,(ABC)), distance du point Ω au plan (ABC).0.5
3. b)En déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (Γ) de rayon r=4.0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les nombres complexes a=32+√32i et b=√22(1+i).
1. a)Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−3z+3=0.0.75
1. b)On pose a=32+√32i ; écrire a sous forme trigonométrique.0.5
2.On considère le nombre complexe b=√22(1+i) ; vérifier que b2=i.0.5
3.On pose h=cos(π12)+isin(π12) ; montrer que h4+1=a.0.5
4. a)Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère le point B d'affixe b et R la rotation de centre O et d'angle π2. Soit c l'affixe du point C image du point B par la rotation R. Montrer que c=ib.0.5
4. b)En déduire la nature du triangle OBC.0.25
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ* par f(x)=2+8(x−2x)2ex−4, et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
Partie II
Cette partie reprend la fonction f de la première partie, définie sur ℝ* par f(x)=2+8(x−2x)2ex−4.
1. a)Vérifier que limx→−∞f(x)=2 et interpréter le résultat géométriquement.0.5
1. b)Vérifier que limx→0f(x)=+∞ et interpréter le résultat géométriquement.0.5
2. a)Calculer limx→+∞f(x).0.5
2. b)Montrer que la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de +∞.0.5
3. a)Montrer que f′(x)=8(x−2)(x2−2x+4)ex−4x3 pour tout x de ℝ*.0.75
3. b)Vérifier que pour tout x de ℝ, x2−2x+4>0.0.25
3. c)Montrer que la fonction f est strictement décroissante sur ]0,2] et strictement croissante sur chacun des intervalles ]−∞,0[ et [2,+∞[.0.75
3. d)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ℝ*.0.5
4.Construire la courbe (C) dans le repère (O,i,j).1
5. a)Vérifier que la fonction H:x↦1xex−4 est une fonction primitive de la fonction h:x↦x−1x2ex−4 sur [2,4].0.5
5. b)Vérifier que f(x)=2+8ex−4−32x−1x2ex−4 pour tout x de ℝ*.0.25
5. c)Calculer l'intégrale ∫24ex−4 dx.0.5
5. d)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=2 et x=4.0.75
1. a)On considère la fonction numérique g définie sur [2,4] par g(x)=8(x−2)ex−4−x2. Calculer g(4).0.25
1. b)Vérifier que pour tout x de l'intervalle [2,4], g(x)=−(x−4)2ex−4+x2(ex−4−1).0.5
1. c)Vérifier que pour tout x de l'intervalle [2,4] : ex−4−1≤0, puis en déduire que pour tout x de l'intervalle [2,4] : g(x)≤0.0.5
2. a)Vérifier que pour tout x de l'intervalle [2,4], f(x)−x=(x−2x2)g(x).0.5
2. b)En déduire que pour tout x de l'intervalle [2,4], f(x)≤x.0.25
3. a)Soit (un) la suite numérique définie par u0=3 et un+1=f(un) pour tout n de ℕ. Montrer par récurrence que 2≤un≤4 pour tout n de ℕ.0.5
3. b)Déterminer la monotonie de la suite (un) et en déduire qu'elle est convergente.0.5
3. c)Calculer la limite de la suite (un).0.75