Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(1,−1,−1), B(0,−2,1) et C(1,−2,0).
1. a)Montrer que AB∧AC=i+j+k.0.75
1. b)En déduire que x+y+z+1=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.5
2.Soit (S) la sphère d'équation x2+y2+z2−4x+2y−2z+1=0. Montrer que le centre de la sphère (S) est Ω(2,−1,1) et que son rayon est R=√5.0.75
3. a)Calculer d(Ω,(ABC)), la distance du point Ω au plan (ABC).0.5
3. b)En déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (Γ) (la détermination du centre et du rayon de (Γ) n'est pas demandée).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives a=1−i√3, b=2+2i, c=√3+i et d=−2+2√3.
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−2z+4=0.0.75
2. a)Vérifier que a−d=−√3 (c−d).0.5
2. b)En déduire que les points A, C et D sont alignés.0.25
3.On considère z l'affixe d'un point M et z′ l'affixe de M′ image de M par la rotation R de centre O et d'angle −π3. Vérifier que z′=12az.0.5
4. a)Soient H l'image du point B par la rotation R, h son affixe, et P le point d'affixe p tel que p=a−c. Vérifier que h=ip.0.5
4. b)Montrer que le triangle OHP est rectangle et isocèle en O.0.5
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
Soit f la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par f(x)=x+12−ln x+12(ln x)2, et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
Partie II
Soit (un) la suite numérique définie par u0=1 et un+1=f(un) pour tout n de ℕ, où f est la fonction de la première partie.
1.Calculer limx→0+f(x) puis interpréter le résultat géométriquement.0.5
2. a)Vérifier que pour tout x de ]0,+∞[, f(x)=x+12+(12ln x−1)ln x.0.25
2. b)En déduire que limx→+∞f(x)=+∞.0.5
2. c)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, (ln x)2x=4(ln√x√x)2, puis en déduire que limx→+∞(ln x)2x=0.0.5
2. d)Montrer que (C) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique la droite (Δ) d'équation y=x.0.75
3. a)Montrer que pour tout x de ]0,1] : (x−1)+ln x≤0, et que pour tout x de [1,+∞[ : (x−1)+ln x≥0.0.5
3. b)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, f′(x)=x−1+ln xx.1
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f.0.5
4. a)Montrer que f″(x)=2−ln xx2 pour tout x de ]0,+∞[.0.5
4. b)En déduire que (C) admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.0.5
5. a)Montrer que pour tout x de ]0,+∞[, f(x)−x=12(ln x−1)2, et déduire la position relative de (C) et (Δ).0.5
5. b)Construire (Δ) et (C) dans le même repère (O,i,j).1
6. a)Montrer que la fonction H:x↦xln x−x est une primitive de la fonction h:x↦ln x sur ]0,+∞[.0.5
6. b)À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ∫1e(ln x)2 dx=e−2.0.75
6. c)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par (C), (Δ) et les droites d'équations x=1 et x=e.0.5
1. a)Montrer par récurrence que 1≤un≤e pour tout n de ℕ.0.5
1. b)Montrer que la suite (un) est croissante.0.5
1. c)En déduire que la suite (un) est convergente.0.5
2.Calculer la limite de la suite (un).0.75