Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، نعتبر النقط A(1,−1,−1) و B(0,−2,1) و C(1,−2,0).
1. a)بين أن AB∧AC=i+j+k0.75
1. b)استنتج أن x+y+z+1=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (ABC)0.5
2.لتكن (S) الفلكة التي معادلتها x2+y2+z2−4x+2y−2z+1=0. بين أن مركز الفلكة (S) هو النقطة Ω(2,−1,1) و أن شعاعها هو R=√50.75
3. a)أحسب d(Ω,(ABC)) مسافة النقطة Ω عن المستوى (ABC)0.5
3. b)استنتج أن المستوى (ABC) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة (Γ) ( تحديد مركز وشعاع (Γ) غير مطلوب )0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، نعتبر النقط A و B و C و D التي ألحاقها على التوالي هي : a=1−i√3 و b=2+2i و c=√3+i و d=−2+2√3.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : z2−2z+4=00.75
2. a)تحقق أن a−d=−√3 (c−d)0.5
2. b)استنتج أن النقط A و C و D مستقيمية .0.25
3.ليكن z لحق نقطة M و z′ لحق النقطة M′ صورة النقطة M بالدوران R الذي مركزه O و زاويته −π3. تحقق أن z′=12az0.5
4. a)لتكن H صورة النقطة B بالدوران R ، و h لحقها ، و P النقطة التي لحقها p حيث p=a−c. تحقق أن h=ip0.5
4. b)بين أن المثلث OHP قائم الزاوية و متساوي الساقين في O0.5
Problème — التحليل
11 pt(s)
Partie I
الجزء الأول : نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : f(x)=x+12−ln x+12(ln x)2 و (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة 1 cm).
Partie II
الجزء الثاني : لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة كما يلي : u0=1 و un+1=f(un) لكل n من ℕ.
1.احسب limx→0+f(x) ثم أول النتيجة هندسيا0.5
2. a)تحقق أن لكل x من المجال ]0,+∞[ : f(x)=x+12+(12ln x−1)ln x0.25
2. b)استنتج أن limx→+∞f(x)=+∞0.5
2. c)بين لكل x من المجال ]0,+∞[ : (ln x)2x=4(ln√x√x)2 ثم استنتج أن : limx→+∞(ln x)2x=00.5
2. d)بين أن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا بجوار +∞ اتجاهه المقارب المستقيم (Δ) الذي معادلته y=x0.75
3. a)بين أن لكل x من ]0,1] : (x−1)+ln x≤0 و أن لكل x من [1,+∞[ : (x−1)+ln x≥00.5
3. b)بين أن لكل x من ]0,+∞[ : f′(x)=x−1+ln xx1
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f0.5
4. a)بين أن f″(x)=2−ln xx2 لكل x من ]0,+∞[0.5
4. b)استنتج أن المنحنى (C) يقبل نقطة انعطاف يتم تحديد زوج إحداثيتيها0.5
5. a)بين أن لكل x من ]0,+∞[ ، f(x)−x=12(ln x−1)2 و استنتج الوضع النسبي للمنحنى (C) و المستقيم (Δ)0.5
5. b)أنشئ (Δ) و (C) في نفس المعلم (O,i,j)1
6. a)بين أن الدالة H:x↦xln x−x هي دالة أصلية للدالة h:x↦ln x على المجال ]0,+∞[0.5
6. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن ∫1e(ln x)2 dx=e−20.75
6. c)احسب ب cm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين (C) و (Δ) والمستقيمين اللذين معادلتاهما x=1 و x=e0.5
1. a)بين بالترجع أن لكل n من ℕ 1≤un≤e0.5
1. b)بين أن المتتالية (un) تزايدية0.5
1. c)استنتج أن المتتالية (un) متقاربة0.5
2.أحسب نهاية المتتالية (un)0.75