Sujet national
National 2018 · PC · SVT · session rattrapage
RS22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère la sphère (S) de centre Ω(2,1,2) et de rayon 3, et le plan (P) passant par le point A(−1,0,3) et dont u(4,0,−3) est un vecteur normal.
1.Montrer qu'une équation de (S) est x2+y2+z2−4x−2y−4z=0.0.5
2.Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (P) est 4x−3z+13=0.0.5
3. a)Vérifier que x=2+4ty=1z=2−3t ; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (P).0.5
3. b)Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite (Δ) et du plan (P).0.5
4. a)Calculer d(Ω,(P)).0.25
4. b)Montrer que le plan (P) est tangent à la sphère (S) en un point que l'on déterminera.0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère le point A d'affixe a=√2(1−i) et la rotation R de centre O et d'angle π3.
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation z2−2√2z+4=0.0.75
2. a)Écrire a sous forme trigonométrique.0.25
2. b)Vérifier que l'affixe du point B, image du point A par la rotation R, est b=2(cos(π12)+isin(π12)).0.5
3. a)On considère le point C d'affixe c=1+i ; montrer que b2−c2=2√3.0.5
3. b)Soit t la translation de vecteur OC et D l'image du point B par la translation t. Montrer que OD=|b+c|.0.5
3. c)En déduire que OD×BC=2√3.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher : 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 1, 3 boules de couleur rouge portant chacune le nombre 2, et 6 boules de couleur verte portant chacune le nombre 2. On tire au hasard et simultanément deux boules de l'urne. On considère les événements suivants : A : « Obtenir deux boules portant le même nombre » ; B : « Obtenir deux boules de couleurs différentes » ; C : « Obtenir deux boules portant deux nombres dont la somme est égale à 3 ».
1.Montrer que p(A)=1322 et p(B)=611, et calculer p(C).1.5
2. a)Montrer que p(A∩B)=311.0.5
2. b)Les événements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.0.5
3.Sachant que l'événement B est réalisé, calculer la probabilité d'obtenir deux boules portant le même nombre.0.5
Exercice 4 — Analyse
2 pt(s)
1. a)Montrer que la fonction H:x↦xex est une primitive de la fonction h:x↦(x+1)ex sur ℝ.0.5
1. b)En déduire que ∫01(x+1)ex dx=e.0.5
2.En utilisant une intégration par parties, calculer ∫01(x2+2x−1)ex dx.1
Problème — Analyse
9 pt(s)
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par g(x)=x3−1−2(ln x)2+2ln x. Le tableau de variations donné par le sujet indique que g′(x) est strictement positive sur ]0,+∞[ et que g y est strictement croissante, de −∞ (au voisinage de 0 à droite) à +∞ (au voisinage de +∞).
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par f(x)=x−12+12x2+(ln xx)2. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=x3−1−2(ln x)2+2ln x.
Partie III
On considère la fonction numérique h définie sur ]0,+∞[ par h(x)=f(x)−x, où f est la fonction de la partie II, définie par f(x)=x−12+12x2+(ln xx)2.
1.Calculer g(1).0.25
2.À partir de ce tableau, déterminer le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]0,1] et [1,+∞[.0.5
1. a)Vérifier que limx→+∞f(x)=+∞.0.5
1. b)Montrer que la droite (D) d'équation y=x−12 est asymptote à la courbe (C) au voisinage de +∞.0.5
1. c)Déterminer la position relative de la droite (D) et de la courbe (C).0.25
2.Montrer que limx→0+f(x)=+∞ et interpréter géométriquement le résultat.0.75
3. a)Montrer que f′(x)=g(x)x3 pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+∞[.1
3. b)Montrer que la fonction f est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+∞[.0.5
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0,+∞[.0.5
4.Construire dans le repère (O,i,j) la droite (D) et la courbe (C) (unité : 1 cm).1
1. a)Vérifier que h(1)=0.0.25
1. b)Dans la figure donnée par le sujet, (Ch) est la représentation graphique de la fonction h : elle décroît de +∞ (au voisinage de 0 à droite) jusqu'à la droite d'équation y=−12, asymptote au voisinage de +∞, et coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 1. Déterminer le signe de h(x) sur chacun des intervalles ]0,1] et [1,+∞[, puis en déduire que f(x)≤x pour tout x de [1,+∞[.0.75
2. a)On considère la suite numérique (un) définie par u0=e et un+1=f(un) pour tout n de ℕ. Montrer par récurrence que 1≤un≤e pour tout n de ℕ.0.75
2. b)Montrer que la suite (un) est décroissante. (On pourra utiliser le résultat de la question III-1-b.)0.75
2. c)En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75