موضوع وطني
National 2018 · PC · SVT · session rattrapage
RS22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، نعتبر الفلكة (S) التي مركزها Ω(2,1,2) و شعاعها يساوي 3 والمستوى (P) المار من النقطة A(−1,0,3) و u(4,0,−3) متجهة منظمية عليه.
1.بين أن معادلة للفلكة (S) هي : x2+y2+z2−4x−2y−4z=00.5
2.تحقق من أن معادلة ديكارتية للمستوى (P) هي : 4x−3z+13=00.5
3. a)تحقق من أن x=2+4ty=1z=2−3t ؛ (t∈ℝ) هو تمثيل بارامتري للمستقيم (Δ) المار من Ω و العمودي على (P)0.5
3. b)حدد إحداثيات النقطة H تقاطع المستقيم (Δ) و المستوى (P)0.5
4. a)أحسب d(Ω,(P))0.25
4. b)بين أن المستوى (P) مماس للفلكة (S) في نقطة يتم تحديدها0.75
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v) نعتبر النقطة A التي لحقها a=√2(1−i) و R الدوران الذي مركزه O و زاويته π3.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : z2−2√2z+4=00.75
2. a)أكتب على الشكل المثلثي العدد a0.25
2. b)تحقق من أن لحق النقطة B صورة النقطة A بالدوران R هو b=2(cos(π12)+isin(π12))0.5
3. a)نعتبر النقطة C التي لحقها c=1+i . بين أن b2−c2=2√30.5
3. b)لتكن t الإزاحة التي متجهتها OC، و النقطة D صورة B بالإزاحة t . بين أن OD=|b+c|0.5
3. c)استنتج أن OD×BC=2√30.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 12 كرة لا يمكن التمييز بينها باللمس موزعة كما يلي : 3 كرات حمراء تحمل كل واحدة منها العدد 1 و 3 كرات حمراء تحمل كل واحدة منها العدد 2 و 6 كرات خضراء تحمل كل واحدة منها العدد 2. نسحب عشوائيا و تآنيا كرتين من الصندوق ، و نعتبر الأحداث التالية : A : « الحصول على كرتين تحملان نفس العدد » و B : « الحصول على كرتين مختلفتي اللون » و C : « الحصول على كرتين تحملان عددين مجموعهما يساوي 3 ».
1.بين أن p(A)=1322 و p(B)=611 و احسب p(C)1.5
2. a)بين أن p(A∩B)=3110.5
2. b)هل الحدثان A و B مستقلان ؟ علل جوابك .0.5
3.علما أن الحدث B محقق ، احسب احتمال الحصول على كرتين تحملان نفس العدد .0.5
Exercice 4 — التحليل
2 pt(s)
1. a)بين أن الدالة H:x↦xex هي دالة أصلية للدالة h:x↦(x+1)ex على ℝ0.5
1. b)إستنتج أن ∫01(x+1)ex dx=e0.5
2.باستعمال مكاملة بالأجزاء ، أحسب ∫01(x2+2x−1)ex dx1
Problème — التحليل
9 pt(s)
Partie I
I) لتكن g الدالة العددية المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=x3−1−2(ln x)2+2ln x. الجدول جانبه هو جدول تغيرات الدالة g على المجال ]0,+∞[.
Partie II
II) نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي : f(x)=x−12+12x2+(ln xx)2 و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j).
Partie III
III) نعتبر الدالة العددية h المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : h(x)=f(x)−x.
1.احسب g(1)0.25
2.من خلال هذا الجدول حدد إشارة g(x) على كل من ]0,1] و [1,+∞[0.5
1. a)تحقق من أن limx→+∞f(x)=+∞0.5
1. b)بين أن المستقيم (D) الذي معادلته y=x−12 مقارب للمنحنى (C) بجوار +∞0.5
1. c)حدد الوضع النسبي للمستقيم (D) و المنحنى (C)0.25
2.بين أن limx→0+f(x)=+∞ و أول هندسيا النتيجة.0.75
3. a)بين أن f′(x)=g(x)x3 لكل x من المجال ]0,+∞[1
3. b)بين أن الدالة f تناقصية على المجال ]0,1] و تزايدية على المجال [1,+∞[0.5
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f على المجال ]0,+∞[0.5
4.أنشئ في المعلم (O,i,j) المستقيم (D) و المنحنى (C) ( الوحدة : 1 cm)1
1. a)تحقق من أن h(1)=00.25
1. b)في الشكل جانبه (Ch) هو التمثيل المبياني للدالة h . حدد إشارة h(x) على كل من ]0,1] و [1,+∞[ ثم استنتج أنه لكل x من المجال [1,+∞[ لدينا f(x)≤x0.75
2. a)نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=e و un+1=f(un) لكل n من ℕ. بين بالترجع أن : 1≤un≤e لكل n من ℕ0.75
2. b)بين أن المتتالية (un) تناقصية . ( يمكن استعمال نتيجة السؤال III) 1) ب - )0.75
2. c)استنتج أن المتتالية (un) متقاربة ثم حدد نهايتها.0.75