Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(0,−2,−2), B(1,−2,−4) et C(−3,−1,2).
1.Montrer que AB∧AC=2i+2j+k et en déduire que 2x+2y+z+6=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).1
2.On considère la sphère (S) dont une équation est x2+y2+z2−2x−2z−23=0. Vérifier que la sphère (S) a pour centre Ω(1,0,1) et pour rayon R=5.0.5
3. a)Vérifier que x=1+2ty=2tz=1+t ; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC).0.25
3. b)Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite (Δ) et du plan (ABC).0.5
4.Vérifier que d(Ω,(ABC))=3, puis montrer que le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle de rayon 4, dont on déterminera le centre.0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère la rotation R de centre O et d'angle 2π3.
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : 2z2+2z+5=0.0.75
2. a)Écrire sous forme trigonométrique le nombre complexe d=−12+√32i.0.25
2. b)On considère le point A d'affixe a=−12+32i et le point B image du point A par la rotation R. Soit b l'affixe du point B ; montrer que b=d a.0.5
3. a)Soit t la translation de vecteur OA, C l'image de B par la translation t et c l'affixe de C. Vérifier que c=b+a et en déduire que c=a(12+√32i) (on pourra utiliser la question 2-b).0.75
3. b)Déterminer arg(ca) puis en déduire que le triangle OAC est équilatéral.0.75
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient 9 boules indiscernables au toucher : cinq boules rouges portant les nombres 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2, et quatre boules blanches portant les nombres 1 ; 2 ; 2 ; 2. On considère l'expérience suivante : on tire au hasard et simultanément trois boules de l'urne. Soient les événements : A : « les trois boules tirées sont de même couleur » ; B : « les trois boules tirées portent le même nombre » ; C : « les trois boules tirées sont de même couleur et portent le même nombre ».
1.Montrer que p(A)=16, p(B)=14 et p(C)=142.1.5
2. a)On répète l'expérience précédente trois fois, avec remise dans l'urne des trois boules tirées après chaque tirage, et on considère la variable aléatoire X qui est égale au nombre de fois de réalisation de l'événement A. Déterminer les paramètres de la variable aléatoire binomiale X.0.5
2. b)Montrer que p(X=1)=2572 et calculer p(X=2).1
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur ℝ par g(x)=ex−x2+3x−1. Le tableau de variations donné par le sujet indique que g′(x) est strictement positive sur ℝ et que g est strictement croissante sur ℝ, de −∞ (au voisinage de −∞) à +∞ (au voisinage de +∞).
Partie II
Soit f la fonction numérique définie sur ℝ par f(x)=(x2−x)e−x+x, et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=ex−x2+3x−1.
Partie III
Soit (un) la suite numérique définie par u0=12 et un+1=f(un) pour tout n de ℕ, où f est la fonction de la partie II, définie sur ℝ par f(x)=(x2−x)e−x+x.
1.Vérifier que g(0)=0.0.25
2.Déterminer le signe de g(x) sur chacun des intervalles ]−∞,0] et [0,+∞[.0.5
1. a)Vérifier que f(x)=x2ex−xex+x pour tout x de ℝ, puis montrer que limx→+∞f(x)=+∞.0.5
1. b)Calculer limx→+∞(f(x)−x) puis en déduire que (C) admet une asymptote (D) au voisinage de +∞ d'équation y=x.0.75
1. c)Vérifier que f(x)=x2−x+xexex pour tout x de ℝ, puis calculer limx→−∞f(x).0.5
1. d)Montrer que limx→−∞f(x)x=−∞ et interpréter le résultat géométriquement.0.5
2. a)Montrer que f(x)−x et x2−x ont le même signe pour tout x de ℝ.0.25
2. b)En déduire que (C) est au-dessus de (D) sur chacun des intervalles ]−∞,0] et [1,+∞[, et en dessous de (D) sur l'intervalle [0,1].0.5
3. a)Montrer que f′(x)=g(x)e−x pour tout x de ℝ.0.75
3. b)En déduire que la fonction f est décroissante sur ]−∞,0] et croissante sur [0,+∞[.0.5
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f.0.25
4. a)Vérifier que f″(x)=(x2−5x+4)e−x pour tout x de ℝ.0.25
4. b)En déduire que la courbe (C) admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives 1 et 4.0.5
5.Construire (D) et (C) dans le même repère (O,i,j) (on prend f(4)≈4,2).1
6. a)Montrer que la fonction H:x↦(x2+2x+2)e−x est une primitive de la fonction h:x↦−x2e−x sur ℝ, puis en déduire que ∫01x2e−x dx=2e−5e.0.5
6. b)À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ∫01xe−x dx=e−2e.0.75
6. c)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par (C), (D) et les droites d'équations x=0 et x=1.0.75
1.Montrer que 0≤un≤1 pour tout n de ℕ (on pourra utiliser le résultat de la question II-3-b).0.75
2.Montrer que la suite (un) est décroissante.0.5
3.En déduire que (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75