Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، نعتبر النقط A(0,−2,−2) و B(1,−2,−4) و C(−3,−1,2).
1.بين أن AB∧AC=2i+2j+k ثم استنتج أن 2x+2y+z+6=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).1
2.لتكن (S) الفلكة التي معادلتها : x2+y2+z2−2x−2z−23=0. تحقق من أن مركز الفلكة (S) هو Ω(1,0,1) و أن شعاعها هو R=5.0.5
3. a)تحقق من أن x=1+2ty=2tz=1+t ; (t∈ℝ) هو تمثيل بارامتري للمستقيم (Δ) المار من Ω و العمودي على المستوى (ABC).0.25
3. b)حدد إحداثيات H نقطة تقاطع المستقيم (Δ) و المستوى (ABC).0.5
4.تحقق من أن d(Ω,(ABC))=3 ثم بين أن المستوى (ABC) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة شعاعها 4 يتم تحديد مركزها.0.75
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v)، نعتبر R الدوران الذي مركزه O و زاويته 2π3.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : 2z2+2z+5=0.0.75
2. a)أكتب على الشكل المثلثي العدد العقدي d=−12+√32i.0.25
2. b)لتكن النقطة A التي لحقها a=−12+32i و B صورة النقطة A بالدوران R. ليكن b لحق النقطة B، بين أن b=d a.0.5
3. a)لتكن t الإزاحة التي متجهتها OA و النقطة C صورة B بالإزاحة t و c لحق النقطة C. تحقق من أن c=b+a ثم استنتج أن c=a(12+√32i) (يمكنك استعمال السؤال 2-ب).0.75
3. b)حدد arg(ca) ثم استنتج أن المثلث OAC متساوي الأضلاع.0.75
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 9 كرات لا يمكن التمييز بينها باللمس : خمس كرات حمراء تحمل الأعداد 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 و أربع كرات بيضاء تحمل الأعداد 1 ; 2 ; 2 ; 2. نعتبر التجربة التالية : نسحب عشوائيا و تآنيا 3 كرات من الصندوق. لتكن الأحداث : A : « الكرات الثلاث المسحوبة لها نفس اللون » و B : « الكرات الثلاث المسحوبة تحمل نفس العدد » و C : « الكرات الثلاث المسحوبة لها نفس اللون و تحمل نفس العدد ».
1.بين أن : p(A)=16 و p(B)=14 و p(C)=142.1.5
2. a)نعيد التجربة السابقة 3 مرات مع إعادة الكرات الثلاث المسحوبة إلى الصندوق بعد كل سحبة، و نعتبر المتغير العشوائي X الذي يساوي عدد المرات التي يتحقق فيها الحدث A. حدد وسيطي المتغير العشوائي الحداني X.0.5
2. b)بين أن : p(X=1)=2572 و احسب p(X=2).1
Problème — التحليل
11 pt(s)
Partie I
I- لتكن g الدالة العددية المعرفة على ℝ كما يلي : g(x)=ex−x2+3x−1. الجدول جانبه يمثل جدول تغيرات الدالة g.
Partie II
II- لتكن f الدالة العددية المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=(x2−x)e−x+x و (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة 1 cm).
Partie III
III- لتكن المتتالية العددية (un) المعرفة كما يلي : u0=12 و un+1=f(un) لكل n من ℕ.
1.تحقق من أن g(0)=0.0.25
2.حدد إشارة g(x) على كل من المجالين ]−∞,0] و [0,+∞[.0.5
1. a)تحقق من أن f(x)=x2ex−xex+x لكل x من ℝ ثم بين أن limx→+∞f(x)=+∞.0.5
1. b)احسب limx→+∞(f(x)−x) ثم استنتج أن المنحنى (C) يقبل مقاربا (D) بجوار +∞ معادلته y=x.0.75
1. c)تحقق من أن f(x)=x2−x+xexex لكل x من ℝ ثم احسب limx→−∞f(x).0.5
1. d)بين أن limx→−∞f(x)x=−∞ ثم أول النتيجة هندسيا.0.5
2. a)تحقق من أن f(x)−x و x2−x لهما نفس الإشارة لكل x من ℝ.0.25
2. b)استنتج أن (C) يوجد فوق (D) على كل من المجالين ]−∞,0] و [1,+∞[ و تحت (D) على المجال [0,1].0.5
3. a)بين أنه لكل x من ℝ لدينا f′(x)=g(x)e−x.0.75
3. b)استنتج أن الدالة f تناقصية على ]−∞,0] و تزايدية على [0,+∞[.0.5
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f.0.25
4. a)تحقق من أن f″(x)=(x2−5x+4)e−x لكل x من ℝ.0.25
4. b)استنتج أن المنحنى (C) يقبل نقطتي انعطاف أفصولاهما على التوالي هما 1 و 4.0.5
5.أنشئ (D) و (C) في نفس المعلم (O,i,j) (نأخذ f(4)≈4,2).1
6. a)بين أن الدالة H:x↦(x2+2x+2)e−x دالة أصلية للدالة h:x↦−x2e−x على ℝ ثم استنتج أن ∫01x2e−x dx=2e−5e.0.5
6. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء بين أن ∫01xe−x dx=e−2e.0.75
6. c)احسب بـ cm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين (C) و (D) والمستقيمين اللذين معادلتاهما x=0 و x=1.0.75
1.بين أن 0≤un≤1 لكل n من ℕ (يمكن استعمال نتيجة السؤال II-3-ب).0.75
2.بين أن المتتالية (un) تناقصية.0.5
3.استنتج أن (un) متقاربة و حدد نهايتها.0.75