Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère le plan (P) passant par le point A(0,1,1) et dont u(1,0,−1) est un vecteur normal, et la sphère (S) de centre le point Ω(0,1,−1) et de rayon √2.
1. a)Montrer que x−z+1=0 est une équation cartésienne du plan (P).0.5
1. b)Montrer que le plan (P) est tangent à la sphère (S) et vérifier que B(−1,1,0) est le point de contact.0.75
2. a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point A et orthogonale au plan (P).0.25
2. b)Montrer que la droite (Δ) est tangente à la sphère (S) au point C(1,1,0).0.75
3.Montrer que OC∧OB=2k et en déduire l'aire du triangle OCB.0.75
Exercice 2 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient huit boules indiscernables au toucher portant chacune un nombre, comme l'indique la figure du sujet : la rangée du haut porte les nombres 0 ; 2 ; 2 ; 2 et la rangée du bas les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 4. On tire au hasard, simultanément, trois boules de l'urne.
1.Soit A l'événement : « Parmi les trois boules tirées, aucune boule ne porte le nombre 0 » et B l'événement : « Le produit des nombres portés par les trois boules tirées est égal à 8 ». Montrer que p(A)=514 et que p(B)=17.1.5
2. a)Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le produit des nombres portés par les trois boules tirées. Montrer que p(X=16)=328.0.5
2. b)Le tableau ci-contre concerne la loi de probabilité de la variable aléatoire X : sa première ligne porte les valeurs xi égales à 0 ; 4 ; 8 ; 16, et sa seconde ligne p(X=xi) n'est remplie que dans la dernière case, où figure 328. Recopier sur votre copie et compléter le tableau en justifiant chaque réponse.1
Exercice 3 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère les nombres complexes a et b tels que a=√3+i et b=√3−1+(√3+1)i. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v).
1. a)Vérifier que b=(1+i)a.0.25
1. b)En déduire que |b|=2√2 et que arg b≡5π12 [2π].0.5
1. c)Déduire de ce qui précède que cos5π12=√6−√24.0.5
2. a)On considère les points A et B d'affixes respectives a et b, et le point C d'affixe c telle que c=−1+i√3. Vérifier que c=ia et en déduire que OA=OC et que (OA,OC)≡π2 [2π].0.75
2. b)Montrer que le point B est l'image du point A par la translation de vecteur OC.0.5
2. c)En déduire que le quadrilatère OABC est un carré.0.5
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par g(x)=x2+x−2+2ln x. Le tableau de variations donné par le sujet indique que g′(x) est strictement positive sur ]0,+∞[ et que g est strictement croissante sur ]0,+∞[, de −∞ (au voisinage de 0 à droite) à +∞ (au voisinage de +∞).
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par f(x)=x+(1−2x)ln x. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=x2+x−2+2ln x.
Partie III
On considère la suite numérique (un) définie par u0=√3 et un+1=f(un) pour tout entier naturel n, où f est la fonction de la partie II, définie sur ]0,+∞[ par f(x)=x+(1−2x)ln x.
1.Vérifier que g(1)=0.0.25
2.À partir du tableau de variations de la fonction g donné ci-dessus, montrer que g(x)≤0 pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,1] et que g(x)≥0 pour tout x appartenant à l'intervalle [1,+∞[.1
1.Montrer que limx→0+f(x)=+∞ et interpréter géométriquement le résultat.0.5
2. a)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞.0.25
2. b)Montrer que la courbe (C) admet au voisinage de +∞ une branche parabolique de direction asymptotique celle de la droite (D) d'équation y=x.0.75
3. a)Montrer que f′(x)=g(x)x2 pour tout x appartenant à l'intervalle ]0,+∞[.1
3. b)Montrer que f est décroissante sur l'intervalle ]0,1] et croissante sur l'intervalle [1,+∞[.0.75
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0,+∞[.0.25
4. a)Résoudre dans l'intervalle ]0,+∞[ l'équation (1−2x)ln x=0.0.5
4. b)En déduire que la courbe (C) coupe la droite (D) en deux points dont on déterminera les coordonnées.0.5
4. c)Montrer que f(x)≤x pour tout x appartenant à l'intervalle [1,2] et en déduire la position relative de la courbe (C) et la droite (D) sur l'intervalle [1,2].0.75
5.Construire, dans le même repère (O,i,j), la droite (D) et la courbe (C) (on admettra que la courbe (C) possède un seul point d'inflexion dont l'abscisse est comprise entre 2,4 et 2,5).1
6. a)Montrer que ∫12ln xx dx=12(ln 2)2.0.5
6. b)Montrer que la fonction H:x↦2ln x−x est une fonction primitive de la fonction h:x↦2x−1 sur l'intervalle ]0,+∞[.0.25
6. c)Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que ∫12(2x−1)ln x dx=(1−ln 2)2.0.5
6. d)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d'équations x=1 et x=2.0.5
1.Montrer par récurrence que 1≤un≤2 pour tout entier naturel n.0.5
2.Montrer que la suite (un) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II-4-c).0.5
3.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75