Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، المستوى (P) المار من النقطة A(0,1,1) و u(1,0,−1) متجهة منظمية عليه و الفلكة (S) التي مركزها النقطة Ω(0,1,−1) و شعاعها √2.
1. a)بين أن x−z+1=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (P).0.5
1. b)بين أن المستوى (P) مماس للفلكة (S) و تحقق من أن B(−1,1,0) هي نقطة التماس.0.75
2. a)حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم (Δ) المار من النقطة A و العمودي على المستوى (P).0.25
2. b)بين أن المستقيم (Δ) مماس للفلكة (S) في النقطة C(1,1,0).0.75
3.بين أن OC∧OB=2k و استنتج مساحة المثلث OCB.0.75
Exercice 2 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على ثماني كرات لا يمكن التمييز بينها باللمس و تحمل كل واحدة منها عددا كما هو مبين في الشكل جانبه. نسحب عشوائيا و في آن واحد ثلاث كرات من الصندوق.
1.نعتبر الحدث A : « من بين الكرات الثلاث المسحوبة لا توجد أية كرة تحمل العدد 0 » و الحدث B : « جداء الأعداد التي تحملها الكرات الثلاث المسحوبة يساوي 8 ». بين أن p(A)=514 و أن p(B)=17.1.5
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بجداء الأعداد التي تحملها الكرات الثلاث المسحوبة. بين أن p(X=16)=328.0.5
2. b)الجدول جانبه يتعلق بقانون احتمال المتغير العشوائي X. أتمم ملء الجدول بعد نقله على ورقة تحريرك معللا أجوبتك.1
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر العددين العقديين a و b بحيث a=√3+i و b=√3−1+(√3+1)i. المستوى العقدي منسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v).
1. a)تحقق من أن b=(1+i)a.0.25
1. b)استنتج أن |b|=2√2 و أن arg b≡5π12 [2π].0.5
1. c)استنتج مما سبق أن cos5π12=√6−√24.0.5
2. a)نعتبر النقطتين A و B اللتين لحقاهما على التوالي هما a و b و النقطة C التي لحقها c بحيث c=−1+i√3. تحقق من أن c=ia و استنتج أن OA=OC و أن (OA,OC)≡π2 [2π].0.75
2. b)بين أن النقطة B هي صورة النقطة A بالإزاحة ذات المتجهة OC.0.5
2. c)استنتج أن الرباعي OABC مربع.0.5
Problème — التحليل
11 pt(s)
Partie I
I) لتكن g الدالة العددية المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=x2+x−2+2ln x.
Partie II
II) نعتبر الدالة العددية f المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي : f(x)=x+(1−2x)ln x و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 1 cm).
Partie III
III) نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=√3 و un+1=f(un) لكل n من ℕ.
1.تحقق من أن g(1)=0.0.25
2.انطلاقا من جدول تغيرات الدالة g جانبه : بين أن g(x)≤0 لكل x من المجال ]0,1] و أن g(x)≥0 لكل x من المجال [1,+∞[.1
1.بين أن limx→0 x>0f(x)=+∞ و أول هندسيا النتيجة.0.5
2. a)بين أن limx→+∞f(x)=+∞.0.25
2. b)بين أن المنحنى (C) يقبل بجوار +∞، فرعا شلجميا في اتجاه المستقيم (D) الذي معادلته y=x.0.75
3. a)بين أن f′(x)=g(x)x2 لكل x من المجال ]0,+∞[.1
3. b)بين أن الدالة f تناقصية على المجال ]0,1] و تزايدية على المجال [1,+∞[.0.75
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f على المجال ]0,+∞[.0.25
4. a)حل في المجال ]0,+∞[ المعادلة (1−2x)ln x=0.0.5
4. b)استنتج أن المنحنى (C) يقطع المستقيم (D) في نقطتين يتم تحديد زوج إحداثيتي كل منهما.0.5
4. c)بين أن f(x)≤x لكل x من المجال [1,2] واستنتج الوضع النسبي للمنحنى (C) والمستقيم (D) على [1,2].0.75
5.أنشئ، في نفس المعلم (O,i,j)، المستقيم (D) و المنحنى (C) (نقبل أن للمنحنى (C) نقطة انعطاف وحيدة أفصولها محصور بين 2,4 و 2,5).1
6. a)بين أن ∫12ln xx dx=12(ln 2)2.0.5
6. b)بين أن الدالة H:x↦2ln x−x هي دالة أصلية للدالة h:x↦2x−1 على المجال ]0,+∞[.0.25
6. c)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن ∫12(2x−1)ln x dx=(1−ln 2)2.0.5
6. d)احسب بـ cm2، مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و المستقيم (D) و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=1 و x=2.0.5
1.بين بالترجع أن 1≤un≤2 لكل n من ℕ.0.5
2.بين أن المتتالية (un) تناقصية (يمكنك استعمال نتيجة السؤال II-4-ج).0.5
3.استنتج أن المتتالية (un) متقاربة و حدد نهايتها.0.75