Sujet national
National 2016 · PC · SVT · session rattrapage
RS22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un) définie par : u0=2 et un+1=116un+1516 pour tout entier naturel n.
1. a)Montrer par récurrence que un>1 pour tout entier naturel n.0.5
1. b)Vérifier que un+1−un=−1516(un−1) pour tout entier naturel n, puis montrer que la suite (un) est décroissante.0.5
1. c)En déduire que la suite (un) est convergente.0.25
2. a)Soit (vn) la suite numérique telle que vn=un−1 pour tout entier naturel n. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 116, puis écrire vn en fonction de n.1
2. b)Montrer que un=1+(116)n pour tout entier naturel n, puis déterminer la limite de la suite (un).0.75
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(1,3,4) et B(0,1,2).
1. a)Montrer que OA∧OB=2i−2j+k.0.5
1. b)Montrer que 2x−2y+z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).0.5
2.Soit (S) la sphère d'équation x2+y2+z2−6x+6y−6z+2=0. Montrer que (S) a pour centre le point Ω(3,−3,3) et pour rayon 5.0.5
3. a)Montrer que le plan (OAB) est tangent à la sphère (S).0.75
3. b)Déterminer les coordonnées du point de contact H du plan (OAB) et de la sphère (S).0.75
Exercice 3 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), on considère les points A, B, C et Ω d'affixes respectives a, b, c et ω telles que a=4+5i, b=3+4i, c=6+7i et ω=4+7i.
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−8z+41=0.0.75
2. a)Calculer c−ba−b puis en déduire que les points A, B et C sont alignés.0.75
2. b)Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′, image de M par la rotation R de centre Ω et d'angle −π2. Montrer que z′=−iz−3+11i.0.75
2. c)Déterminer l'image du point C par la rotation R puis donner une forme trigonométrique du nombre complexe a−ωc−ω.0.75
Exercice 4 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient 10 boules portant les nombres 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 (les boules sont indiscernables au toucher). On considère l'expérience suivante : on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l'urne.
1.Soit A l'événement : « Obtenir deux boules portant deux nombres pairs ». Montrer que p(A)=13.1
2.On répète l'expérience précédente trois fois de suite, en remettant dans l'urne les deux boules tirées après chaque expérience. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de fois où l'événement A est réalisé. Montrer que p(X=1)=49 puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.2
Problème — Analyse
8 pt(s)
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par g(x)=2x−1+2ln x. Le tableau de variations donné par le sujet indique que g′(x) est négative sur ]0,1[, s'annule en 1 et est positive sur ]1,+∞[ : g décroît de +∞ (au voisinage de 0+) jusqu'à g(1), puis croît de g(1) jusqu'à +∞ (au voisinage de +∞).
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par f(x)=3−3x+2(x+1)ln x. Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 2 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=2x−1+2ln x. Dans tout le problème, ln désigne la fonction logarithme népérien.
1.Calculer g(1).0.25
2.En déduire à partir du tableau que g(x)>0 pour tout x appartenant à ]0,+∞[.0.75
1.Montrer que limx→0 x>0f(x)=−∞ et interpréter géométriquement ce résultat.0.75
2. a)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞ (pour le calcul de la limite on pourra utiliser l'écriture suivante : f(x)=x[3x−3+2(1+1x)ln x]).0.5
2. b)Montrer que la courbe (C) admet, au voisinage de +∞, une branche parabolique dont la direction est celle de l'axe des ordonnées.0.5
3. a)Montrer que f′(x)=g(x) pour tout x appartenant à ]0,+∞[.0.75
3. b)En déduire que f est strictement croissante sur ]0,+∞[ et dresser le tableau de variations de f sur ]0,+∞[.0.75
4. a)Montrer que I(1,0) est un point d'inflexion de la courbe (C).0.5
4. b)Montrer que y=x−1 est une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C) au point I.0.25
4. c)Construire, dans le même repère (O,i,j), la droite (T) et la courbe (C).0.75
5. a)Montrer que : ∫12(1+x2)dx=74.0.5
5. b)À l'aide d'une intégration par parties, montrer que ∫12(x+1)ln x dx=4ln 2−74.0.75
5. c)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=2.0.5
6.Résoudre graphiquement l'inéquation : x∈]0,+∞[ ; (x+1)ln x≥32(x−1).0.5