موضوع وطني
National 2016 · PC · SVT · session rattrapage
RS22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — التحليل
3 pt(s)
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=2 و un+1=116un+1516 لكل n من ℕ.
1. a)بين بالترجع أن un>1 لكل n من ℕ.0.5
1. b)تحقق من أن un+1−un=−1516(un−1) لكل n من ℕ ثم بين أن المتتالية (un) تناقصية.0.5
1. c)استنتج أن المتتالية (un) متقاربة.0.25
2. a)لتكن (vn) المتتالية العددية بحيث vn=un−1 لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 116 و اكتب vn بدلالة n.1
2. b)بين أن un=1+(116)n لكل n من ℕ ثم حدد نهاية المتتالية (un).0.75
Exercice 2 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقطتين A(1,3,4) و B(0,1,2).
1. a)بين أن OA∧OB=2i−2j+k.0.5
1. b)بين أن 2x−2y+z=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (OAB).0.5
2.لتكن (S) الفلكة التي معادلتها x2+y2+z2−6x+6y−6z+2=0. بين أن مركز الفلكة (S) هو النقطة Ω(3,−3,3) و شعاعها 5.0.5
3. a)بين أن المستوى (OAB) مماس للفلكة (S).0.75
3. b)حدد مثلوث إحداثيات H نقطة تماس المستوى (OAB) و الفلكة (S).0.75
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم (O,u,v)، النقط A و B و C و Ω التي ألحاقها على التوالي هي a و b و c و ω بحيث a=4+5i و b=3+4i و c=6+7i و ω=4+7i.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : z2−8z+41=0.0.75
2. a)احسب c−ba−b و استنتج أن النقط A و B و C مستقيمية.0.75
2. b)ليكن z لحق نقطة M من المستوى و z′ لحق النقطة M′ صورة M بالدوران R الذي مركزه Ω و زاويته −π2. بين أن z′=−iz−3+11i.0.75
2. c)حدد صورة النقطة C بالدوران R ثم أعط شكلا مثلثيا للعدد a−ωc−ω.0.75
Exercice 4 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 10 كرات تحمل الأعداد : 1 و 2 و 2 و 3 و 3 و 3 و 4 و 4 و 4 و 4 (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس). نعتبر التجربة التالية : نسحب عشوائيا بالتتابع وبدون إحلال كرتين من الصندوق.
1.ليكن A الحدث : « الحصول على كرتين تحملان عددين زوجيين ». بين أن : p(A)=13.1
2.نكرر التجربة السابقة ثلاث مرات بحيث نعيد الكرتين المسحوبتين إلى الصندوق بعد كل تجربة. ليكن X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد المرات التي يتحقق فيها الحدث A. بين أن p(X=1)=49 ثم حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X.2
Problème — التحليل
8 pt(s)
Partie I
I- لتكن g الدالة العددية المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=2x−1+2ln x. الجدول جانبه هو جدول تغيرات الدالة g على ]0,+∞[.
Partie II
II- نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : f(x)=3−3x+2(x+1)ln x وليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 2 cm). بالنسبة للمسألة، ln يرمز لدالة اللوغاريتم النبيري.
1.احسب g(1).0.25
2.استنتج انطلاقا من الجدول أن : g(x)>0 لكل x من ]0,+∞[.0.75
1.بين أن limx→0 x>0f(x)=−∞ و أعط تأويلا هندسيا لهذه النتيجة.0.75
2. a)بين أن limx→+∞f(x)=+∞ (لحساب النهاية يمكنك كتابة f(x) على الشكل f(x)=x[3x−3+2(1+1x)ln x]).0.5
2. b)بين أن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا في اتجاه محور الأراتيب بجوار +∞.0.5
3. a)بين أن f′(x)=g(x) لكل x من ]0,+∞[.0.75
3. b)استنتج أن الدالة f تزايدية قطعا على ]0,+∞[ ثم ضع جدول تغيرات الدالة f على ]0,+∞[.0.75
4. a)بين أن I(1,0) نقطة انعطاف للمنحنى (C).0.5
4. b)بين أن y=x−1 هي معادلة ديكارتية للمستقيم (T) مماس المنحنى (C) في النقطة I.0.25
4. c)أنشئ، في نفس المعلم (O,i,j)، المستقيم (T) و المنحنى (C).0.75
5. a)بين أن : ∫12(1+x2)dx=74.0.5
5. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن ∫12(x+1)ln x dx=4ln 2−74.0.75
5. c)احسب، بـ cm2، مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و محور الأفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=1 و x=2.0.5
6.حل مبيانيا المتراجحة : x∈]0,+∞[ ; (x+1)ln x≥32(x−1).0.5