Sujet national
National 2016 · PC · SVT · session normale
NS22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Analyse
2.5 pt(s)
On considère la suite numérique (un) définie par : u0=2 et un+1=3+un5−un pour tout entier naturel n.
1.Vérifier que un+1−3=4(un−3)2+(3−un) pour tout entier naturel n, puis montrer par récurrence que un<3 pour tout entier naturel n.0.75
2. a)Soit (vn) la suite numérique définie par vn=un−13−un pour tout entier naturel n. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 12, puis en déduire que vn=(12)n pour tout entier naturel n.0.75
2. b)Montrer que un=1+3vn1+vn pour tout entier naturel n, puis écrire un en fonction de n.0.5
2. c)Déterminer la limite de la suite (un).0.5
Exercice 2 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), on considère les points A(2,1,3), B(3,1,1), C(2,2,1) et la sphère (S) d'équation : x2+y2+z2−2x+2y−34=0.
1. a)Montrer que AB∧AC=2i+2j+k.0.5
1. b)En déduire que 2x+2y+z−9=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.5
2. a)Montrer que la sphère (S) a pour centre le point Ω(1,−1,0) et pour rayon 6.0.5
2. b)Montrer que d(Ω,(ABC))=3 et en déduire que le plan (ABC) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ).0.5
3. a)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point Ω et orthogonale au plan (ABC).0.5
3. b)Montrer que le point B est le centre du cercle (Γ).0.5
Exercice 3 — Nombres complexes
3 pt(s)
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2), on considère les points Ω, A et B d'affixes respectives ω, a et b telles que ω=2+5i, a=5+2i et b=5+8i.
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−4z+29=0.0.75
2. a)Soit u le nombre complexe tel que u=b−ω. Vérifier que u=3+3i puis montrer que arg u≡π4 [2π].0.75
2. b)Déterminer un argument du nombre complexe u (u étant le conjugué de u).0.25
2. c)Vérifier que a−ω=u puis en déduire que ΩA=ΩB et que arg(b−ωa−ω)≡π2 [2π].0.75
2. d)On considère la rotation R de centre Ω et d'angle π2. Déterminer l'image du point A par la rotation R.0.5
Exercice 4 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une urne contient 10 boules : quatre boules rouges et six boules vertes. (Les boules sont indiscernables au toucher.) On tire au hasard, simultanément, deux boules de l'urne.
1.Soit A l'évènement : « Les deux boules tirées sont rouges ». Montrer que p(A)=215.1
2. a)Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules rouges restantes dans l'urne après le tirage des deux boules. Montrer que l'ensemble des valeurs prises par X est {2,3,4}.0.5
2. b)Montrer que p(X=3)=815 puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.1.5
Problème — Analyse
8.5 pt(s)
Partie I
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x)=2x−2+e2x−4ex. Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
1. a)Montrer que limx→−∞f(x)=−∞.0.25
1. b)Montrer que la droite (D) d'équation y=2x−2 est asymptote à la courbe (Cf) au voisinage de −∞.0.5
2. a)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞.0.5
2. b)Montrer que limx→+∞f(x)x=+∞ puis interpréter géométriquement ce résultat.0.5
3. a)Montrer que f′(x)=2(ex−1)2 pour tout nombre réel x.0.5
3. b)Donner le tableau de variations de la fonction f sur ℝ (remarquer que f′(0)=0).0.25
3. c)Montrer qu'il existe un réel unique α de l'intervalle ]1,ln 4[ tel que f(α)=0.0.75
4. a)Montrer que la courbe (Cf) est située au-dessus de la droite (D) sur l'intervalle ]ln 4,+∞[ et en dessous de la droite (D) sur l'intervalle ]−∞,ln 4[.0.5
4. b)Montrer que la courbe (Cf) admet un point d'inflexion unique de coordonnées (0,−5).0.5
4. c)Construire la droite (D) et la courbe (Cf) dans le même repère (O,i,j) (on prendra ln 4≈1,4 et α≈1,3).0.75
5. a)Montrer que ∫0ln 4(e2x−4ex) dx=−92.0.5
5. b)Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (Cf), la droite (D), l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=ln 4.0.5
1. a)Résoudre l'équation différentielle (E) : y″−3y′+2y=0.0.5
1. b)Déterminer la solution g de l'équation (E) vérifiant g(0)=−3 et g′(0)=−2.0.5
2. a)Soit h la fonction numérique définie sur l'intervalle ]ln 4,+∞[ par : h(x)=ln(e2x−4ex). Montrer que la fonction h admet une fonction réciproque h−1 et que h−1 est définie sur ℝ.0.75
2. b)Vérifier que h(ln 5)=ln 5 puis déterminer (h−1)′(ln 5).0.75