موضوع وطني
National 2016 · PC · SVT · session normale
NS22F · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — التحليل
2.5 pt(s)
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=2 و un+1=3+un5−un لكل n من ℕ.
1.تحقق من أن un+1−3=4(un−3)2+(3−un) لكل n من ℕ ثم بين بالترجع أن un<3 لكل n من ℕ.0.75
2. a)لتكن (vn) المتتالية العددية المعرفة بما يلي : vn=un−13−un لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 12 ثم استنتج أن vn=(12)n لكل n من ℕ.0.75
2. b)بين أن un=1+3vn1+vn لكل n من ℕ ثم اكتب un بدلالة n.0.5
2. c)حدد نهاية المتتالية (un).0.5
Exercice 2 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقط A(2,1,3) و B(3,1,1) و C(2,2,1) و الفلكة (S) التي معادلتها x2+y2+z2−2x+2y−34=0.
1. a)بين أن AB∧AC=2i+2j+k.0.5
1. b)استنتج أن 2x+2y+z−9=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).0.5
2. a)بين أن مركز الفلكة (S) هو النقطة Ω(1,−1,0) و أن شعاعها هو 6.0.5
2. b)بين أن d(Ω,(ABC))=3 و استنتج أن المستوى (ABC) يقطع الفلكة (S) وفق دائرة (Γ).0.5
3. a)حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم (Δ) المار من النقطة Ω و العمودي على المستوى (ABC).0.5
3. b)بين أن مركز الدائرة (Γ) هو النقطة B.0.5
Exercice 3 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2)، النقط Ω و A و B التي ألحاقها على التوالي هي ω و a و b بحيث ω=2+5i و a=5+2i و b=5+8i.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة : z2−4z+29=0.0.75
2. a)ليكن u العدد العقدي بحيث u=b−ω. تحقق من أن u=3+3i ثم بين أن arg u≡π4 [2π].0.75
2. b)حدد عمدة للعدد العقدي u (u يرمز لمرافق العدد العقدي u).0.25
2. c)تحقق من أن a−ω=u ثم استنتج أن ΩA=ΩB و أن arg(b−ωa−ω)≡π2 [2π].0.75
2. d)نعتبر الدوران R الذي مركزه Ω و زاويته π2. حدد صورة النقطة A بالدوران R.0.5
Exercice 4 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على 10 كرات : أربع كرات حمراء و ست كرات خضراء. (لا يمكن التمييز بين الكرات باللمس). نسحب عشوائيا وفي آن واحد كرتين من الصندوق.
1.ليكن A الحدث : « الكرتان المسحوبتان حمراوان ». بين أن p(A)=215.1
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد الكرات الحمراء المتبقية في الصندوق بعد سحب الكرتين. بين أن مجموعة القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X هي {2,3,4}.0.5
2. b)بين أن p(X=3)=815 ثم حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X.1.5
Problème — التحليل
8.5 pt(s)
Partie I
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=2x−2+e2x−4ex و ليكن (Cf) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 1 cm).
1. a)بين أن limx→−∞f(x)=−∞.0.25
1. b)بين أن المستقيم (D) الذي معادلته y=2x−2 مقارب للمنحنى (Cf) بجوار −∞.0.5
2. a)بين أن limx→+∞f(x)=+∞.0.5
2. b)بين أن limx→+∞f(x)x=+∞ ثم أول هندسيا النتيجة.0.5
3. a)بين أن f′(x)=2(ex−1)2 لكل x من ℝ.0.5
3. b)ضع جدول تغيرات الدالة f على ℝ (لاحظ أن f′(0)=0).0.25
3. c)بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد α من المجال ]1,ln 4[ بحيث f(α)=0.0.75
4. a)بين أن المنحنى (Cf) يوجد فوق المستقيم (D) على المجال ]ln 4,+∞[ وتحت المستقيم (D) على المجال ]−∞,ln 4[.0.5
4. b)بين أن المنحنى (Cf) يقبل نقطة انعطاف وحيدة زوج إحداثيتيها هو (0,−5).0.5
4. c)أنشئ المستقيم (D) و المنحنى (Cf) في نفس المعلم (O,i,j) (نأخذ ln 4≈1,4 و α≈1,3).0.75
5. a)بين أن ∫0ln 4(e2x−4ex) dx=−92.0.5
5. b)احسب، بـ cm2، مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (Cf) و المستقيم (D) و محور الأراتيب و المستقيم الذي معادلته x=ln 4.0.5
1. a)حل المعادلة التفاضلية (E) : y″−3y′+2y=0.0.5
1. b)حدد الحل g للمعادلة (E) الذي يحقق الشرطين g(0)=−3 و g′(0)=−2.0.5
2. a)لتكن h الدالة العددية المعرفة على المجال ]ln 4,+∞[ بما يلي : h(x)=ln(e2x−4ex). بين أن الدالة h تقبل دالة عكسية h−1 و أن h−1 معرفة على ℝ.0.75
2. b)تحقق من أن h(ln 5)=ln 5 ثم حدد (h−1)′(ln 5).0.75