Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), le plan (P) d'équation x+y+z+4=0 et la sphère (S) de centre Ω(1,−1,−1) et de rayon √3.
1. a)Calculer la distance d(Ω,(P)) et en déduire que le plan (P) est tangent à la sphère (S).0.75
1. b)Vérifier que le point H(0,−2,−2) est le point de tangence du plan (P) et de la sphère (S).0.5
2. a)On considère les deux points A(2,1,1) et B(1,0,1). Vérifier que OA∧OB=i−j−k et en déduire que x−y−z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).0.75
2. b)Déterminer une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par Ω et perpendiculaire au plan (OAB).0.5
2. c)Déterminer le triplet de coordonnées de chacun des deux points d'intersection de la droite (Δ) et de la sphère (S).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2+10z+26=0.0.75
2. a)On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2), les points A, B, C et Ω dont les affixes sont respectivement a=−2+2i, b=−5+i, c=−5−i et ω=−3. Montrer que : b−ωa−ω=i.0.5
2. b)En déduire la nature du triangle ΩAB.0.5
3. a)Soit D l'image du point C par la translation T de vecteur u d'affixe 6+4i. Montrer que l'affixe d du point D est 1+3i.0.5
3. b)Montrer que : b−da−d=2 et en déduire que le point A est le milieu du segment [BD].0.75
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient huit boules : 3 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches (indiscernables au toucher). On tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de la boîte.
1.On considère l'événement A suivant : « obtenir au moins une boule blanche », et l'événement B suivant : « obtenir deux boules de même couleur ». Montrer que p(A)=1328 et p(B)=14.1.5
2. a)Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées. Montrer que : p(X=2)=128.0.5
2. b)Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et calculer l'espérance mathématique E(X).1
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
I — Soit g la fonction numérique définie sur ℝ par : g(x)=ex−2x.
Partie II
II — On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x)=xex−2x, et soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité 1 cm).
Partie III
III — Soit h la fonction numérique définie sur l'intervalle ]−∞,0] par : h(x)=f(x).
Partie IV
IV — Soit (un) la suite numérique définie par : u0=−2 et un+1=h(un) pour tout n de ℕ.
1.Calculer g′(x) pour tout x de ℝ puis en déduire que g est décroissante sur ]−∞,ln 2] et croissante sur [ln 2,+∞[.0.75
2.Vérifier que g(ln 2)=2(1−ln 2) puis déterminer le signe de g(ln 2).0.5
3.En déduire que g(x)>0 pour tout x de ℝ.0.5
1. a)Montrer que limx→+∞f(x)=0 et limx→−∞f(x)=−12 (on remarquera que ex−2x=x(exx−2) pour tout x de ℝ*).1
1. b)Interpréter géométriquement chacun des deux résultats précédents.0.5
2. a)Montrer que f′(x)=(1−x)ex(ex−2x)2 pour tout x de ℝ.0.75
2. b)Étudier le signe de f′(x) sur ℝ puis donner le tableau de variations de la fonction f sur ℝ.0.75
2. c)Montrer que y=x est une équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point O origine du repère.0.25
3.Construire, dans le même repère (O,i,j), la droite (T) et la courbe (C) (on prendra 1e−2≈1,4 et on admet que la courbe (C) a deux points d'inflexion dont l'un a une abscisse appartenant à l'intervalle ]0,1[ et l'autre une abscisse supérieure à 32).1
4. a)Montrer que xe−x≤xex−2x≤1e−2 pour tout x de l'intervalle [0,+∞[.0.75
4. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫01xe−x dx=1−2e.0.75
4. c)Soit A(E), en cm2, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x=0 et x=1. Montrer que : 1−2e≤A(E)≤1e−2.0.5
1.Montrer que la fonction h admet une fonction réciproque h−1 définie sur un intervalle J que l'on déterminera.0.5
2.Construire, dans le même repère (O,i,j), la courbe (Ch−1) représentative de la fonction h−1.0.5
1.Montrer par récurrence que un≤0 pour tout n de ℕ.0.5
2.Montrer que la suite (un) est croissante (on pourra remarquer, graphiquement, que h(x)≥x pour tout x de l'intervalle ]−∞,0]).0.75
3.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75