Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر ، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، المستوى (P) الذي معادلته x+y+z+4=0 و الفلكة (S) التي مركزها Ω(1,−1,−1) و شعاعها √3.
1. a)احسب المسافة d(Ω,(P)) و استنتج أن المستوى (P) مماس للفلكة (S).0.75
1. b)تحقق من أن النقطة H(0,−2,−2) هي نقطة تماس المستوى (P) و الفلكة (S).0.5
2. a)نعتبر النقطتين A(2,1,1) و B(1,0,1). تحقق من أن OA∧OB=i−j−k و استنتج أن x−y−z=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (OAB).0.75
2. b)حدد تمثيلا بارامتريا للمستقيم (Δ) المار من Ω و العمودي على المستوى (OAB).0.5
2. c)حدد مثلوث إحداثيات كل نقطة من نقطتي تقاطع المستقيم (Δ) و الفلكة (S).0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة: z2+10z+26=0.0.75
2. a)نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2)، النقط A و B و C و Ω التي ألحاقها على التوالي هي a و b و c و ω بحيث: a=−2+2i و b=−5+i و c=−5−i و ω=−3. بين أن b−ωa−ω=i.0.5
2. b)استنتج طبيعة المثلث ΩAB.0.5
3. a)لتكن النقطة D صورة النقطة C بالإزاحة T ذات المتجهة u التي لحقها 6+4i. بين أن اللحق d للنقطة D هو 1+3i.0.5
3. b)بين أن: b−da−d=2 و استنتج أن النقطة A هي منتصف القطعة [BD].0.75
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي صندوق على ثماني كرات : 3 كرات حمراء و 3 كرات خضراء و كرتان بيضاوان (لا يمكن التمييز بينها باللمس). نسحب عشوائيا بالتتابع و بدون إحلال كرتين من الصندوق.
1.يحتوي صندوق على ثماني كرات: 3 كرات حمراء و 3 كرات خضراء و كرتان بيضاوان (لا يمكن التمييز بينها باللمس). نسحب عشوائيا بالتتابع و بدون إحلال كرتين من الصندوق. نعتبر الحدث A التالي: « الحصول على كرة بيضاء واحدة على الأقل »، و الحدث B التالي: « الحصول على كرتين من نفس اللون ». بين أن p(A)=1328 و p(B)=14.1.5
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد الكرات البيضاء المسحوبة. بين أن p(X=2)=128.0.5
2. b)حدد قانون احتمال المتغير العشوائي X و احسب الأمل الرياضي E(X).1
Problème — التحليل
11 pt(s)
Partie I
I- لتكن g الدالة العددية المعرفة على ℝ بما يلي : g(x)=ex−2x.
Partie II
II- نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=xex−2x و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة 1 cm).
Partie III
III- لتكن h الدالة العددية المعرفة على المجال ]−∞,0] بما يلي : h(x)=f(x).
Partie IV
IV- لتكن (un) المتتالية العددية المعرفة بما يلي : u0=−2 و un+1=h(un) لكل n من ℕ.
1.احسب g′(x) لكل x من ℝ ثم استنتج أن g تناقصية على ]−∞,ln 2] و تزايدية على [ln 2,+∞[.0.75
2.تحقق من أن g(ln 2)=2(1−ln 2) ثم حدد إشارة g(ln 2).0.5
3.استنتج أن g(x)>0 لكل x من ℝ.0.5
1. a)بين أن limx→+∞f(x)=0 و limx→−∞f(x)=−12 (لاحظ أن ex−2x=x(exx−2) لكل x من ℝ*).1
1. b)أول هندسيا كل نتيجة من النتيجتين السابقتين.0.5
2. a)بين أن f′(x)=(1−x)ex(ex−2x)2 لكل x من ℝ.0.75
2. b)ادرس إشارة f′(x) على ℝ ثم أعط جدول تغيرات الدالة f على ℝ.0.75
2. c)بين أن y=x هي معادلة للمستقيم (T) المماس للمنحنى (C) في النقطة O أصل المعلم.0.25
3.أنشئ، في نفس المعلم (O,i,j)، المستقيم (T) والمنحنى (C) (نأخذ 1e−2≈1,4 و نقبل أن للمنحنى (C) نقطتي انعطاف أفصول إحداهما ينتمي إلى المجال ]0,1[ و أفصول الأخرى أكبر من 32).1
4. a)بين أن xe−x≤xex−2x≤1e−2 لكل x من المجال [0,+∞[.0.75
4. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن ∫01xe−x dx=1−2e.0.75
4. c)لتكن، بـ cm2، A(E) مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و محور الأفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=0 و x=1. بين أن 1−2e≤A(E)≤1e−2.0.5
1.بين أن الدالة h تقبل دالة عكسية h−1 معرفة على مجال J يتم تحديده.0.5
2.أنشئ، في نفس المعلم (O,i,j)، المنحنى (Ch−1) الممثل للدالة h−1.0.5
1.بين بالترجع أن un≤0 لكل n من ℕ.0.5
2.بين أن المتتالية (un) تزايدية (يمكنك ملاحظة، مبيانيا، أن h(x)≥x لكل x من المجال ]−∞,0]).0.75
3.استنتج أن المتتالية (un) متقاربة و حدد نهايتها.0.75