Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les deux points A(2,1,0) et B(−4,1,0).
1.Soit (P) le plan passant par le point A et dont u=i+j−k est un vecteur normal. Montrer que x+y−z−3=0 est une équation cartésienne du plan (P).0.5
2.Soit (S) l'ensemble des points M de l'espace vérifiant la relation MA·MB=0. Montrer que (S) est la sphère de centre le point Ω(−1,1,0) et de rayon 3.0.75
3. a)Calculer la distance du point Ω au plan (P) puis en déduire que (P) coupe (S) suivant un cercle (C).0.5
3. b)Montrer que le centre du cercle (C) est le point H(0,2,−1).0.5
4.Montrer que OH∧OB=i+4j+8k puis en déduire l'aire du triangle OHB.0.75
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
Partie I
I — On considère le nombre complexe a tel que : a=2+√2+i√2.
Partie II
II — On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2), les deux points Ω et A dont les affixes sont respectivement ω=√2 et a=2+√2+i√2, et soit R la rotation de centre Ω et d'angle π2.
1.Montrer que le module du nombre complexe a est 2√2+√2.0.5
2.Vérifier que a=2(1+cosπ4)+2isinπ4.0.25
3. a)En linéarisant cos2θ, où θ est un nombre réel, montrer que 1+cos 2θ=2cos2θ.0.25
3. b)Montrer que a=4cos2π8+4icosπ8sinπ8 (on rappelle que sin 2θ=2cosθsinθ).0.5
3. c)Montrer que 4cosπ8(cosπ8+isinπ8) est une forme trigonométrique du nombre a, puis montrer que a4=(2√2+√2)4i.0.5
1.Montrer que l'affixe b du point B, image du point A par la rotation R, est 2i.0.5
2.Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que |z−2i|=2.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Partie I
Une boîte U1 contient 7 boules : quatre boules rouges et trois boules vertes (indiscernables au toucher). Une boîte U2 contient 5 boules : trois boules rouges et deux boules vertes (indiscernables au toucher). I — On considère l'expérience suivante : on tire au hasard et simultanément trois boules de la boîte U1.
Partie II
Une boîte U1 contient 7 boules : quatre boules rouges et trois boules vertes (indiscernables au toucher). Une boîte U2 contient 5 boules : trois boules rouges et deux boules vertes (indiscernables au toucher). II — On considère l'expérience suivante : on tire au hasard et simultanément deux boules de U1, puis on tire au hasard une boule de U2.
1.Soit A l'événement : « obtenir une boule rouge et deux boules vertes », et B l'événement : « obtenir trois boules de même couleur ». Montrer que p(A)=1235 et p(B)=17.2
1.Soit C l'événement : « obtenir trois boules rouges ». Montrer que p(C)=635.1
Problème — Analyse
11 pt(s)
Partie I
I — On considère la fonction numérique f de la variable réelle x telle que : f(x)=1x(1−ln x). Soit (Cf) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 2 cm).
Partie II
II — Soit g la fonction numérique définie sur l'intervalle ]0,+∞[ par : g(x)=1−x2(1−ln x), et soit (Cg) la courbe représentative de g dans un repère orthonormé (voir la figure imprimée sur le sujet). La fonction f est celle de la partie I : f(x)=1x(1−ln x), définie sur Df=]0,e[∪]e,+∞[.
Partie III
III — On considère la suite numérique (un) définie par : u0=2 et un+1=f(un) pour tout n de ℕ, où f est la fonction de la partie I : f(x)=1x(1−ln x). Le réel α est celui de la partie II : l'unique solution de g(x)=0 vérifiant 2,2<α<2,3.
1.Montrer que Df=]0,e[∪]e,+∞[ est l'ensemble de définition de la fonction f.0.5
2. a)Calculer limx→e x<ef(x) et limx→e x>ef(x) et interpréter géométriquement les deux résultats obtenus.0.75
2. b)Calculer limx→+∞f(x) puis en déduire que la courbe (Cf) admet, au voisinage de +∞, une asymptote que l'on déterminera.0.5
2. c)Montrer que limx→0 x>0f(x)=+∞ puis interpréter géométriquement le résultat (pour calculer limx→0 x>0f(x), on remarquera que x(1−ln x)=x−xln x).0.5
3. a)Montrer que f′(x)=ln xx2(1−ln x)2 pour tout x de Df.0.75
3. b)Montrer que la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]0,1] et croissante sur chacun des deux intervalles [1,e[ et ]e,+∞[.1
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur Df.0.25
1. a)Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation suivante (E) : g(x)=0, x∈]0,+∞[.0.5
1. b)On donne le tableau de valeurs suivant : g(2,1)=−0,14 ; g(2,2)=−0,02 ; g(2,3)=0,12 ; g(2,4)=0,28. Montrer que l'équation (E) admet une solution α telle que 2,2<α<2,3.0.5
2. a)Vérifier que f(x)−x=g(x)x(1−ln x) pour tout x de Df.0.25
2. b)Montrer que la droite (Δ) d'équation y=x coupe la courbe (Cf) en les deux points dont les abscisses sont 1 et α.0.5
2. c)Déterminer, à partir de (Cg), le signe de la fonction g sur l'intervalle ]1,α] et montrer que f(x)−x≤0 pour tout x de ]1,α].0.5
3.Construire, dans le même repère (O,i,j), la droite (Δ) et la courbe (Cf).1.25
4. a)Montrer que ∫1√e1x(1−ln x) dx=ln 2 (on remarquera que 1x(1−ln x)=1x1−ln x pour tout x de Df).0.75
4. b)Calculer, en cm2, l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (Cf), la droite (Δ) et les deux droites d'équations x=1 et x=√e.0.75
1.Montrer par récurrence que 1≤un≤α pour tout n de ℕ.0.5
2.Montrer que la suite (un) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II-2-c).0.5
3.En déduire que la suite (un) est convergente et déterminer sa limite.0.75