Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقطتين A(2,1,0) و B(−4,1,0).
1.ليكن (P) المستوى المار من النقطة A و u=i+j−k متجهة منظمية عليه. بين أن x+y−z−3=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (P).0.5
2.لتكن (S) مجموعة النقط M من الفضاء التي تحقق العلاقة MA·MB=0. بين أن (S) هي الفلكة التي مركزها النقطة Ω(−1,1,0) و شعاعها 3.0.75
3. a)احسب مسافة النقطة Ω عن المستوى (P) ثم استنتج أن (P) يقطع (S) وفق دائرة (C).0.5
3. b)بين أن مركز الدائرة (C) هو النقطة H(0,2,−1).0.5
4.بين أن OH∧OB=i+4j+8k ثم استنتج مساحة المثلث OHB.0.75
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
Partie I
I- نعتبر العدد العقدي a بحيث : a=2+√2+i√2.
Partie II
II- نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2)، النقطتين Ω و A اللتين لحقاهما على التوالي هما ω و a بحيث ω=√2 و a=2+√2+i√2 و R الدوران الذي مركزه Ω و زاويته π2.
1.بين أن معيار العدد العقدي a هو 2√2+√2.0.5
2.تحقق من أن a=2(1+cosπ4)+2isinπ4.0.25
3. a)بإخطاط cos2θ، حيث θ عدد حقيقي، بين أن 1+cos 2θ=2cos2θ.0.25
3. b)بين أن a=4cos2π8+4icosπ8sinπ8 (نذكر أن sin 2θ=2cosθsinθ).0.5
3. c)بين أن 4cosπ8(cosπ8+isinπ8) هو شكل مثلثي للعدد a ثم بين أن a4=(2√2+√2)4i.0.5
1.بين أن اللحق b للنقطة B صورة النقطة A بالدوران R هو 2i.0.5
2.حدد مجموعة النقط M ذات اللحق z بحيث |z−2i|=2.0.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
Partie I
يحتوي صندوق U1 على 7 كرات : أربع كرات حمراء و ثلاث كرات خضراء (لا يمكن التمييز بينها باللمس) و يحتوي صندوق U2 على 5 كرات : ثلاث كرات حمراء و كرتان خضراوان (لا يمكن التمييز بينها باللمس). I) نعتبر التجربة التالية : نسحب عشوائيا و في آن واحد ثلاث كرات من الصندوق U1.
Partie II
يحتوي صندوق U1 على 7 كرات : أربع كرات حمراء و ثلاث كرات خضراء (لا يمكن التمييز بينها باللمس) و يحتوي صندوق U2 على 5 كرات : ثلاث كرات حمراء و كرتان خضراوان (لا يمكن التمييز بينها باللمس). II) نعتبر التجربة التالية : نسحب عشوائيا و في آن واحد كرتين من U1 ثم نسحب عشوائيا كرة واحدة من U2.
1.ليكن A الحدث: « الحصول على كرة حمراء واحدة و كرتين خضراوين »، و B الحدث: « الحصول على ثلاث كرات من نفس اللون ». بين أن p(A)=1235 و p(B)=17.2
1.ليكن C الحدث: « الحصول على ثلاث كرات حمراء ». بين أن p(C)=635.1
Problème — التحليل
11 pt(s)
Partie I
نعتبر الدالة العددية f للمتغير الحقيقي x بحيث : f(x)=1x(1−ln x) و ليكن (Cf) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 2 cm).
Partie II
II) لتكن g الدالة العددية المعرفة على المجال ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=1−x2(1−ln x) و ليكن (Cg) المنحنى الممثل للدالة g في معلم متعامد ممنظم (انظر الشكل).
Partie III
III) نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=2 و un+1=f(un) لكل n من ℕ.
1.بين أن Df=]0,e[∪]e,+∞[ هي مجموعة تعريف الدالة f.0.5
2. a)احسب limx→e x<ef(x) و limx→e x>ef(x) و أول هندسيا النتيجتين المتوصل إليهما.0.75
2. b)احسب limx→+∞f(x) ثم استنتج أن المنحنى (Cf) يقبل مقاربا بجوار +∞ يتم تحديده.0.5
2. c)بين أن limx→0 x>0f(x)=+∞ ثم أول هندسيا النتيجة (لحساب limx→0 x>0f(x) لاحظ أن x(1−ln x)=x−xln x).0.5
3. a)بين أن f′(x)=ln xx2(1−ln x)2 لكل x من Df.0.75
3. b)بين أن الدالة f تناقصية على المجال ]0,1] و تزايدية على كل من المجالين [1,e[ و ]e,+∞[.1
3. c)ضع جدول تغيرات الدالة f على Df.0.25
1. a)حدد مبيانيا عدد حلول المعادلة (E) التالية: g(x)=0، x∈]0,+∞[.0.5
1. b)نعطي جدول القيم التالي: g(2,1)=−0,14 ؛ g(2,2)=−0,02 ؛ g(2,3)=0,12 ؛ g(2,4)=0,28. بين أن المعادلة (E) تقبل حلا α بحيث 2,2<α<2,3.0.5
2. a)تحقق من أن f(x)−x=g(x)x(1−ln x) لكل x من Df.0.25
2. b)بين أن المستقيم (Δ) الذي معادلته y=x يقطع المنحنى (Cf) في النقطتين اللتين أفصولاهما 1 و α.0.5
2. c)حدد، انطلاقا من (Cg)، إشارة الدالة g على المجال ]1,α] و بين أن f(x)−x≤0 لكل x من ]1,α].0.5
3.أنشئ، في نفس المعلم (O,i,j)، المستقيم (Δ) و المنحنى (Cf).1.25
4. a)بين أن ∫1√e1x(1−ln x) dx=ln 2 (لاحظ أن: 1x(1−ln x)=1x1−ln x لكل x من Df).0.75
4. b)احسب، بـ cm2، مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (Cf) و المستقيم (Δ) و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=1 و x=√e.0.75
1.بين بالترجع أن 1≤un≤α لكل n من ℕ.0.5
2.بين أن المتتالية (un) تناقصية (يمكن استعمال نتيجة السؤال II-2-ج).0.5
3.استنتج أن المتتالية (un) متقاربة و حدد نهايتها.0.75