Sujet national
National 2014 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O ; i,j,k), le point A(0,0,1), le plan (P) d'équation 2x+y−2z−7=0 et la sphère (S) de centre Ω(0,3,−2) et de rayon 3.
1. a)Montrer que x=2ty=tz=1−2t (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ) passant par le point A et perpendiculaire au plan (P).0.5
1. b)Vérifier que H(2,1,−1) est le point d'intersection du plan (P) et de la droite (Δ).0.5
2. a)Montrer que ΩA∧u=3(i+2j+2k), où u=2i+j−2k.0.75
2. b)Montrer que la distance du point Ω à la droite (Δ) est égale à 3.0.5
2. c)En déduire que la droite (Δ) est tangente à la sphère (S) et vérifier que H est le point de contact de la droite (Δ) et de la sphère (S).0.75
Exercice 2 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un)n∈ℕ* définie par : u1=5 et un+1=5un−41+un pour tout n de ℕ*.
1.Montrer par récurrence que un>2 pour tout n de ℕ*.0.75
2. a)On considère la suite numérique (vn)n∈ℕ* définie par : vn=3un−2 pour tout n de ℕ*. Montrer que vn+1=1+unun−2 pour tout n de ℕ*, puis montrer que la suite (vn)n∈ℕ* est arithmétique de raison 1.1
2. b)Écrire vn en fonction de n et en déduire que un=2+3n pour tout n de ℕ*.0.75
2. c)Déterminer limn→+∞un.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Pour déterminer deux questions d'un examen oral, un candidat à un concours de recrutement tire au hasard, successivement et sans remise, deux cartes d'une boîte contenant 10 cartes : huit cartes relatives à la matière mathématiques et deux cartes relatives à la matière langue française. (On admet qu'il n'est pas possible de distinguer les cartes au toucher.)
1.On considère l'événement A : « tirer deux cartes relatives à la matière langue française » et l'événement B : « tirer deux cartes relatives à deux matières différentes ». Montrer que p(A)=145 et p(B)=1645.1.5
2. a)Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de cartes tirées relatives à la matière langue française. Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire X sont 0, 1 et 2.0.25
2. b)Montrer que p(X=0)=2845 puis donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.1.25
Exercice 4 — Nombres complexes
3 pt(s)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; e1,e2). À la question 2, on considère les points A, B, C, D et Ω dont les affixes sont respectivement a=2+i, b=2−i, c=i, d=−i et ω=1.
1.Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes ℂ l'équation : z2−4z+5=0.0.75
2. a)Montrer que a−ωb−ω=i.0.25
2. b)En déduire que le triangle ΩAB est rectangle et isocèle en Ω.0.5
3. a)Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre Ω et d'angle π2. Montrer que z′=iz+1−i.0.5
3. b)Vérifier que R(A)=C et R(D)=B.0.5
3. c)Montrer que les points A, B, C et D appartiennent au même cercle, dont on déterminera le centre.0.5
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x)=(xex−1)ex. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O ; i,j) (unité : 2 cm).
1.Montrer que limx→−∞f(x)=0 et interpréter le résultat géométriquement.0.75
2. a)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞ et que limx→+∞f(x)x=+∞.0.75
2. b)En déduire que la courbe (C) admet une branche parabolique au voisinage de +∞, dont on déterminera la direction.0.5
3. a)Montrer que f′(x)=ex(ex−1+2xex) pour tout x de ℝ, puis vérifier que f′(0)=0.1
3. b)Montrer que ex−1≥0 pour tout x de [0,+∞[ et que ex−1≤0 pour tout x de ]−∞,0].0.5
3. c)Montrer que la fonction f est croissante sur [0,+∞[ et décroissante sur ]−∞,0], puis dresser le tableau de variations de la fonction f sur ℝ.1.25
4. a)Montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans [0,+∞[ et que 12<α<1. (On admet que 12e12<1.)0.75
4. b)Construire (C) dans le repère (O ; i,j). (On admet que la courbe (C) admet un unique point d'inflexion, dont la détermination n'est pas demandée.)0.75
5.En utilisant une intégration par parties, montrer que ∫012xe2x dx=14.0.75
6.Calculer, en cm2, l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x=0 et x=12.1