موضوع وطني
National 2014 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; i,j,k)، النقطة A(0,0,1) و المستوى (P) الذي معادلته 2x+y−2z−7=0 و الفلكة (S) التي مركزها Ω(0,3,−2) و شعاعها هو 3.
1. a)بين أن: x=2ty=tz=1−2t (t∈ℝ) تمثيل بارامتري للمستقيم (Δ) المار من النقطة A والعمودي على (P).0.5
1. b)تحقق من أن H(2,1,−1) هي نقطة تقاطع المستوى (P) والمستقيم (Δ).0.5
2. a)بين أن ΩA∧u=3(i+2j+2k) حيث u=2i+j−2k.0.75
2. b)بين أن مسافة النقطة Ω عن المستقيم (Δ) تساوي 3.0.5
2. c)استنتج أن المستقيم (Δ) مماس للفلكة (S) و تحقق من أن H هي نقطة تماس المستقيم (Δ) و الفلكة (S).0.75
Exercice 2 — التحليل
3 pt(s)
نعتبر المتتالية العددية (un)n∈ℕ* المعرفة بما يلي : u1=5 و un+1=5un−41+un لكل n من ℕ*.
1.بين بالترجع أن un>2 لكل n من ℕ*.0.75
2. a)نعتبر المتتالية العددية (vn)n∈ℕ* المعرفة بما يلي: vn=3un−2 لكل n من ℕ*. بين أن vn+1=1+unun−2 لكل n من ℕ* ثم بين أن المتتالية (vn)n∈ℕ* حسابية أساسها 1.1
2. b)اكتب vn بدلالة n و استنتج أن un=2+3n لكل n من ℕ*.0.75
2. c)حدد limn→+∞un.0.5
Exercice 3 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
لتحديد سؤالي اختبار شفوي خاص بمباراة توظيف، يسحب مترشح، عشوائيا، بالتتابع و بدون إحلال بطاقتين من صندوق يحتوي على 10 بطاقات : ثمان بطاقات تتعلق بمادة الرياضيات و بطاقتان تتعلقان بمادة اللغة الفرنسية (نعتبر أنه لا يمكن التمييز بين البطاقات باللمس).
1.نعتبر الحدث A: « سحب بطاقتين تتعلقان بمادة اللغة الفرنسية »، و الحدث B: « سحب بطاقتين تتعلقان بمادتين مختلفتين ». بين أن p(A)=145 و p(B)=1645.1.5
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يربط كل سحبة بعدد البطاقات المسحوبة المتعلقة بمادة اللغة الفرنسية. تحقق من أن القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X هي 0 و 1 و 2.0.25
2. b)بين أن p(X=0)=2845 ثم أعط قانون احتمال X.1.25
Exercice 4 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O ; e1,e2)، النقط A و B و C و D و Ω التي ألحاقها على التوالي هي : a=2+i و b=2−i و c=i و d=−i و ω=1.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة: z2−4z+5=0.0.75
2. a)بين أن a−ωb−ω=i.0.25
2. b)استنتج أن المثلث ΩAB قائم الزاوية و متساوي الساقين في Ω.0.5
3. a)ليكن z لحق نقطة M من المستوى و z′ لحق النقطة M′ صورة M بالدوران R الذي مركزه Ω و زاويته π2. بين أن: z′=iz+1−i.0.5
3. b)تحقق من أن R(A)=C و R(D)=B.0.5
3. c)بين أن النقط A و B و C و D تنتمي إلى نفس الدائرة محددا مركزها.0.5
Exercice 5 — التحليل
8 pt(s)
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ℝ بما يلي : f(x)=(xex−1)ex و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O ; i,j) (الوحدة : 2 cm).
1.بين أن limx→−∞f(x)=0 و أول النتيجة هندسيا.0.75
2. a)بين أن limx→+∞f(x)=+∞ و أن limx→+∞f(x)x=+∞.0.75
2. b)استنتج أن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا بجوار +∞ يتم تحديد اتجاهه.0.5
3. a)بين أن f′(x)=ex(ex−1+2xex) لكل x من ℝ ثم تحقق من أن f′(0)=0.1
3. b)بين أن ex−1≥0 لكل x من [0,+∞[ و أن ex−1≤0 لكل x من ]−∞,0].0.5
3. c)بين أن الدالة f تزايدية على [0,+∞[ و تناقصية على ]−∞,0] ثم ضع جدول تغيرات الدالة f على ℝ.1.25
4. a)بين أن المعادلة f(x)=0 تقبل حلا وحيدا α في [0,+∞[ و أن 12<α<1 (نقبل أن 12e12<1).0.75
4. b)أنشئ (C) في المعلم (O,i,j) (نقبل أن للمنحنى (C) نقطة انعطاف وحيدة غير مطلوب تحديدها).0.75
5.باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن ∫012xe2x dx=14.0.75
6.احسب بـ cm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و محور الأفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=0 و x=12.1