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Sujet national
National 2014 · PC · SVT · session normale
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(0,3,1), B(−1,3,0) et C(0,5,0) et la sphère (S) d'équation x2+y2+z2−4x−5=0.
1. a)Montrer que AB∧AC=2i−j−2k et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.0.75
1. b)Montrer que 2x−y−2z+5=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.5
2. a)Montrer que le centre de la sphère (S) est le point Ω(2,0,0) et que son rayon est 3.0.5
2. b)Montrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S).0.75
2. c)Déterminer le triplet de coordonnées du point H, point de contact du plan (ABC) et de la sphère (S).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−z√2+2=0.0.75
2. a)On considère le nombre complexe u=√22+√62i. Montrer que le module de u est √2 et que arg u≡π3 [2π].0.5
2. b)En utilisant l'écriture du nombre u sous forme trigonométrique, montrer que u6 est un nombre réel.0.75
3. a)On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,e1,e2), les points A et B d'affixes respectives a=4−4i√3 et b=8. Soit z l'affixe d'un point M du plan et z′ l'affixe du point M′ image de M par la rotation R de centre O et d'angle π3. Exprimer z′ en fonction de z.0.5
3. b)Vérifier que B est l'image de A par la rotation R et en déduire que le triangle OAB est équilatéral.0.5
Exercice 3 — Analyse
3 pt(s)On considère la suite numérique (un) définie par : u0=13 et un+1=12un+7 pour tout n de ℕ.
1.Montrer par récurrence que un<14 pour tout n de ℕ.0.75
2. a)Soit (vn) la suite numérique telle que : vn=14−un pour tout n de ℕ. Montrer que (vn) est une suite géométrique de raison 12 puis écrire vn en fonction de n.1
2. b)En déduire que un=14−(12)n pour tout n de ℕ puis calculer la limite de la suite (un).0.75
2. c)Déterminer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle un>13,99.0.5
Exercice 4 — Calcul des probabilités
3 pt(s)Un sac contient neuf jetons indiscernables au toucher et portant les nombres : 0 et 0 et 0 et 0 et 0 et 1 et 1 et 1 et 1.
1.On tire au hasard et simultanément deux jetons du sac. Soit A l'événement : « la somme des deux nombres portés par les deux jetons tirés est égale à 1 ». Montrer que p(A)=59.1
2. a)On considère le jeu suivant : Saïd tire au hasard et simultanément deux jetons du sac, et il est considéré gagnant s'il tire deux jetons portant chacun le nombre 1. Montrer que la probabilité que Saïd gagne est 16.1
2. b)Saïd a joué le jeu précédent trois fois (Saïd remet les deux jetons tirés dans le sac à chaque fois). Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement deux fois ?1
Problème — Analyse
8 pt(s)Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur ]0,+∞[ par : g(x)=1−1x2+ln x.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par : f(x)=(1+ln x)2+1x2, et soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
1.Montrer que g′(x)=2x3+1x pour tout x de ]0,+∞[ et en déduire que la fonction g est croissante sur ]0,+∞[.0.5
2.Vérifier que g(1)=0 puis en déduire que g(x)≤0 pour tout x de ]0,1] et g(x)≥0 pour tout x de [1,+∞[.0.75
1.Montrer que limx→0 x>0f(x)=+∞ et interpréter le résultat géométriquement.0.5
2. a)Calculer limx→+∞f(x).0.25
2. b)Montrer que limx→+∞ (1+ln x)2x=0 (on pourra poser t=√x) puis en déduire que limx→+∞f(x)x=0.1
2. c)Déterminer la branche infinie de la courbe (C) au voisinage de +∞.0.25
3. a)Montrer que f′(x)=2g(x)x pour tout x de ]0,+∞[ puis en déduire que la fonction f est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+∞[.1.5
3. b)Dresser le tableau de variations de la fonction f puis en déduire que f(x)≥2 pour tout x de ]0,+∞[.1
4.Construire (C) dans le repère (O,i,j) (on admet que la courbe (C) admet un unique point d'inflexion, dont la détermination n'est pas demandée).0.75
5. a)On considère les deux intégrales suivantes : I=∫1e(1+ln x)dx et J=∫1e(1+ln x)2dx. Montrer que H:x↦xln x est une fonction primitive de la fonction h:x↦1+ln x sur ]0,+∞[ puis en déduire que I=e.0.5
5. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que J=2e−1.0.5
5. c)Calculer en cm2 l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x=1 et x=e.0.5
Le corrigé entier, question par question, avec le barème.
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