fhamtha.ma › المواضيع › National 2014 · PC · SVT · session normale
موضوع وطني
National 2014 · PC · SVT · session normale
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)نعتبر، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k)، النقط A(0,3,1) و B(−1,3,0) و C(0,5,0) و الفلكة (S) التي معادلتها : x2+y2+z2−4x−5=0.
1. a)بين أن AB∧AC=2i−j−2k واستنتج أن النقط A و B و C غير مستقيمية.0.75
1. b)بين أن 2x−y−2z+5=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).0.5
2. a)بين أن مركز الفلكة (S) هو النقطة Ω(2,0,0) و أن شعاعها هو 3.0.5
2. b)بين أن المستوى (ABC) مماس للفلكة (S).0.75
2. c)حدد مثلوث إحداثيات H نقطة تماس المستوى (ABC) و الفلكة (S).0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة: z2−z√2+2=0.0.75
2. a)نعتبر العدد العقدي u=√22+√62i. بين أن معيار العدد u هو √2 و أن arg u≡π3 [2π].0.5
2. b)باستعمال كتابة العدد u على الشكل المثلثي، بين أن u6 عدد حقيقي.0.75
3. a)نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,e1,e2)، النقطتين A و B اللتين لحقاهما على التوالي هما a و b بحيث a=4−4i√3 و b=8. ليكن z لحق نقطة M من المستوى و z′ لحق النقطة M′ صورة M بالدوران R الذي مركزه O و زاويته π3. عبر عن z′ بدلالة z.0.5
3. b)تحقق من أن B هي صورة A بالدوران R و استنتج أن المثلث OAB متساوي الأضلاع.0.5
Exercice 3 — التحليل
3 pt(s)نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=13 و un+1=12un+7 لكل n من ℕ.
1.بين بالترجع أن un<14 لكل n من ℕ.0.75
2. a)لتكن (vn) المتتالية العددية بحيث: vn=14−un لكل n من ℕ. بين أن (vn) متتالية هندسية أساسها 12 ثم اكتب vn بدلالة n.1
2. b)استنتج أن un=14−(12)n لكل n من ℕ ثم احسب نهاية المتتالية (un).0.75
2. c)حدد أصغر قيمة للعدد الصحيح الطبيعي n التي يكون من أجلها un>13,99.0.5
Exercice 4 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)يحتوي كيس على تسع بيدقات لا يمكن التمييز بينها باللمس وتحمل الأعداد : 0 و 0 و 0 و 0 و 0 و 1 و 1 و 1 و 1.
1.نسحب عشوائيا و في آن واحد بيدقتين من الكيس. ليكن A الحدث: « مجموع العددين اللذين تحملاهما البيدقتين المسحوبتين يساوي 1 ». بين أن p(A)=59.1
2. a)نعتبر اللعبة التالية: يسحب سعيد عشوائيا و في آن واحد بيدقتين من الكيس و يعتبر فائزا إذا سحب بيدقتين تحمل كل واحدة منهما العدد 1. بين أن احتمال فوز سعيد هو 16.1
2. b)لعب سعيد اللعبة السابقة ثلاث مرات (يعيد سعيد البيدقتين المسحوبتين إلى الكيس في كل مرة). ما هو الاحتمال لكي يفوز سعيد مرتين بالضبط؟1
Problème — التحليل
8 pt(s)Partie I
لتكن g الدالة العددية المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=1−1x2+ln x.
Partie II
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : f(x)=(1+ln x)2+1x2 و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 1 cm).
1.بين أن g′(x)=2x3+1x لكل x من ]0,+∞[ و استنتج أن الدالة g تزايدية على ]0,+∞[.0.5
2.تحقق من أن g(1)=0 ثم استنتج أن g(x)≤0 لكل x من ]0,1] و g(x)≥0 لكل x من [1,+∞[.0.75
1.بين أن limx→0 x>0f(x)=+∞ و أول هندسيا النتيجة.0.5
2. a)احسب limx→+∞f(x).0.25
2. b)بين أن limx→+∞(1+ln x)2x=0 (يمكنك وضع t=√x) ثم بين أن limx→+∞f(x)x=0.1
2. c)حدد الفرع اللانهائي للمنحنى (C) بجوار +∞.0.25
3. a)بين أن f′(x)=2g(x)x لكل x من ]0,+∞[ ثم استنتج أن الدالة f تناقصية على ]0,1] و تزايدية على [1,+∞[.1.5
3. b)ضع جدول تغيرات الدالة f على ]0,+∞[ ثم استنتج أن f(x)≥2 لكل x من ]0,+∞[.1
4.أنشئ (C) في المعلم (O,i,j) (نقبل أن للمنحنى (C) نقطة انعطاف وحيدة تحديدها غير مطلوب).0.75
5. a)نعتبر التكاملين I و J التاليين: I=∫1e(1+ln x)dx و J=∫1e(1+ln x)2dx. بين أن H:x↦xln x دالة أصلية للدالة h:x↦1+ln x على ]0,+∞[ ثم استنتج أن I=e.0.5
5. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن J=2e−1.0.5
5. c)احسب بـ cm2 مساحة حيز المستوى المحصور بين المنحنى (C) و محور الأفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=1 و x=e.0.5
التصحيح كاملا، سؤالا سؤالا، مع سلّم التنقيط.
شاهد التصحيح