Sujet national
National 2013 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(0,0,1), B(1,1,1) et C(2,1,2), et la sphère (S) de centre Ω(1,−1,0) et de rayon √3.
1.Montrer que x2+y2+z2−2x+2y−1=0 est une équation cartésienne de la sphère (S), et vérifier que le point A appartient à (S).0.75
2. a)Montrer que AB∧AC=i−j−k et en déduire que x−y−z+1=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).0.75
2. b)Calculer la distance d(Ω,(ABC)) puis en déduire que le plan (ABC) est tangent à la sphère (S) en A.0.75
3. a)Soit (Δ) la droite passant par Ω et perpendiculaire au plan (ABC). Montrer que x=1+ty=−1−tz=−t ; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ).0.25
3. b)En déduire le triplet de coordonnées de chacun des deux points d'intersection de la droite (Δ) et de la sphère (S).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B et C d'affixes respectives a=4+3i, b=4−3i et c=10+3i, et la translation T de vecteur BC.
1.Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes l'équation : z2−8z+25=0.0.75
2. a)Montrer que l'affixe du point D, image du point A par la translation T, est d=10+9i.0.75
2. b)Vérifier que b−ad−a=−12(1+i) puis écrire le nombre complexe b−ad−a sous forme trigonométrique.1
2. c)Montrer que (AD,AB)≡5π4 [2π].0.5
Exercice 3 — Analyse
3 pt(s)
On considère la suite numérique (un) définie par : u0=2 et un+1=15un+45 pour tout n de ℕ.
1.Vérifier que un+1−1=15(un−1) pour tout n de ℕ.0.5
2. a)Montrer par récurrence que un>1 pour tout n de ℕ.0.5
2. b)Montrer que la suite (un) est décroissante.0.5
2. c)En déduire que la suite (un) est convergente.0.25
3. a)Soit (vn) la suite numérique telle que vn=un−1 pour tout n de ℕ. Montrer que la suite (vn) est géométrique de raison 15 puis écrire vn en fonction de n.0.5
3. b)Montrer que un=(15)n+1 pour tout n de ℕ puis calculer la limite de la suite (un).0.75
Exercice 4 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Un sac contient 9 jetons : quatre jetons blancs, trois jetons noirs et deux jetons verts (les jetons sont indiscernables au toucher). On tire au hasard et simultanément trois jetons du sac.
1.On considère les deux événements A : « obtenir trois jetons de même couleur » et B : « obtenir trois jetons de couleurs deux à deux différentes ». Montrer que P(A)=584 et P(B)=27.1
2. a)Soit X la variable aléatoire égale au nombre de jetons noirs tirés. Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire X sont 0, 1, 2 et 3.0.25
2. b)Montrer que P(X=2)=314 et P(X=1)=1528.1
2. c)Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.0.75
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
Partie I
On considère la fonction numérique g définie sur ]0,+∞[ par : g(x)=x2−x−ln x.
Partie II
On considère la fonction numérique f définie sur ]0,+∞[ par : f(x)=x2−1−(ln x)2. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm). La fonction g est celle de la partie I : g(x)=x2−x−ln x.
1. a)Vérifier que 2x2−x−1=(2x+1)(x−1) pour tout x de ℝ.0.25
1. b)Montrer que g′(x)=2x2−x−1x pour tout x de ]0,+∞[ et en déduire que la fonction g est décroissante sur ]0,1] et croissante sur [1,+∞[.1
2.Montrer que g(x)≥0 pour tout x de ]0,+∞[ (on remarquera que g(1)=0).0.5
1. a)Montrer que limx→0 x>0f(x)=−∞ et interpréter géométriquement ce résultat.0.5
1. b)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞ et limx→+∞f(x)x=+∞ (on remarquera que f(x)=x2(1−1x2−(ln xx)2)).0.5
1. c)En déduire que la courbe (C) admet une branche parabolique au voisinage de +∞, dont on déterminera la direction.0.25
2. a)Montrer que f′(x)=2(x2−ln xx) pour tout x de ]0,+∞[.1
2. b)Vérifier que g(x)x+1=x2−ln xx pour tout x de ]0,+∞[ et en déduire que la fonction f est croissante sur ]0,+∞[.0.75
3. a)Montrer que y=2x−2 est une équation cartésienne de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point A(1,0).0.5
3. b)Construire, dans le même repère (O,i,j), la droite (T) et la courbe (C) (on admet que la courbe (C) admet un unique point d'inflexion, qui est A).1
4. a)Vérifier que H:x↦x(ln x−1) est une fonction primitive de la fonction h:x↦ln x sur ]0,+∞[ puis montrer que ∫1eln x dx=1.0.75
4. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫1e(ln x)2 dx=e−2.0.5
4. c)Montrer que l'aire du domaine plan limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x=1 et x=e est 13(e3−6e+8) cm2.0.5