موضوع وطني
National 2013 · PC · SVT · session rattrapage
RS 22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — الهندسة الفضائية
3 pt(s)
نعتبر ، في الفضاء المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,i,j,k) ، النقط A(0,0,1) و B(1,1,1) و C(2,1,2) و الفلكة (S) التي مركزها Ω(1,−1,0) و شعاعها هو √3.
1.بين أن x2+y2+z2−2x+2y−1=0 هي معادلة ديكارتية للفلكة (S) وتحقق من أن A تنتمي إلى (S).0.75
2. a)بين أن AB∧AC=i−j−k و استنتج أن x−y−z+1=0 هي معادلة ديكارتية للمستوى (ABC).0.75
2. b)احسب المسافة d(Ω,(ABC)) ثم استنتج أن المستوى (ABC) مماس للفلكة (S) في A.0.75
3. a)ليكن (Δ) المستقيم المار من Ω والعمودي على (ABC). بين أن x=1+ty=−1−tz=−t (t∈ℝ) تمثيل بارامتري للمستقيم (Δ).0.25
3. b)استنتج مثلوثي إحداثيات نقطتي تقاطع المستقيم (Δ) و الفلكة (S).0.5
Exercice 2 — الأعداد العقدية
3 pt(s)
نعتبر، في المستوى العقدي المنسوب إلى معلم متعامد ممنظم مباشر (O,u,v) ، النقط A و B و C التي ألحاقها على التوالي هي : a=4+3i و b=4−3i و c=10+3i والإزاحة T التي متجهتها BC.
1.حل في مجموعة الأعداد العقدية ℂ المعادلة: z2−8z+25=0.0.75
2. a)بين أن لحق النقطة D صورة النقطة A بالإزاحة T هو d=10+9i.0.75
2. b)تحقق من أن b−ad−a=−12(1+i) ثم اكتب العدد العقدي −12(1+i) على الشكل المثلثي.1
2. c)بين أن (AD,AB)≡5π4 [2π].0.5
Exercice 3 — التحليل
3 pt(s)
نعتبر المتتالية العددية (un) المعرفة بما يلي : u0=2 و un+1=15un+45 لكل n من ℕ.
1.تحقق من أن un+1−1=15(un−1) لكل n من ℕ.0.5
2. a)بين بالترجع أن un>1 لكل n من ℕ.0.5
2. b)بين أن المتتالية (un) تناقصية.0.5
2. c)استنتج أن المتتالية (un) متقاربة.0.25
3. a)لتكن (vn) المتتالية العددية بحيث vn=un−1 لكل n من ℕ. بين أن المتتالية (vn) هندسية أساسها 15 ثم اكتب vn بدلالة n.0.5
3. b)بين أن un=(15)n+1 لكل n من ℕ ثم احسب نهاية المتتالية (un).0.75
Exercice 4 — حساب الاحتمالات
3 pt(s)
يحتوي كيس على 9 بيدقات : أربع بيدقات بيضاء و ثلاث بيدقات سوداء و بيدقتان خضراوان. (لا يمكن التمييز بين البيدقات باللمس) نسحب عشوائيا وفي آن واحد ثلاث بيدقات من الكيس.
1.نعتبر الحدثين A: « الحصول على ثلاث بيدقات من نفس اللون » و B: « الحصول على ثلاث بيدقات مختلفة اللون مثنى مثنى ». بين أن P(A)=584 و P(B)=27.1
2. a)ليكن X المتغير العشوائي الذي يساوي عدد البيدقات السوداء المسحوبة. تحقق من أن القيم التي يأخذها المتغير العشوائي X هي 0 و 1 و 2 و 3.0.25
2. b)بين أن P(X=2)=314 و P(X=1)=1528.1
2. c)أعط قانون احتمال المتغير العشوائي X.0.75
Exercice 5 — التحليل
8 pt(s)
Partie I
نعتبر الدالة العددية g المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : g(x)=x2−x−ln x.
Partie II
نعتبر الدالة العددية f المعرفة على ]0,+∞[ بما يلي : f(x)=x2−1−(ln x)2 و ليكن (C) المنحنى الممثل للدالة f في معلم متعامد ممنظم (O,i,j) (الوحدة : 1 cm).
1. a)تحقق من أن 2x2−x−1=(2x+1)(x−1) لكل x من ℝ.0.25
1. b)بين أن g′(x)=2x2−x−1x لكل x من ]0,+∞[ واستنتج أن الدالة g تناقصية على ]0,1] وتزايدية على [1,+∞[.1
2.بين أن g(x)≥0 لكل x من ]0,+∞[ (لاحظ أن g(1)=0).0.5
1. a)بين أن limx→0 x>0f(x)=−∞ و أول هندسيا هذه النتيجة.0.5
1. b)بين أن limx→+∞f(x)=+∞ و limx→+∞f(x)x=+∞ (لاحظ أن f(x)=x2(1−1x2−(ln xx)2)).0.5
1. c)استنتج أن المنحنى (C) يقبل فرعا شلجميا بجوار +∞ يتم تحديد اتجاهه.0.25
2. a)بين أن f′(x)=2(x2−ln xx) لكل x من ]0,+∞[.1
2. b)تحقق من أن g(x)x+1=x2−ln xx لكل x من ]0,+∞[ و استنتج أن الدالة f تزايدية على ]0,+∞[.0.75
3. a)بين أن y=2x−2 هي معادلة ديكارتية للمستقيم (T) المماس للمنحنى (C) في النقطة A(1,0).0.5
3. b)أنشئ في نفس المعلم (O,i,j) المستقيم (T) والمنحنى (C) (نقبل أن للمنحنى (C) نقطة انعطاف وحيدة هي A).1
4. a)تحقق من أن H:x↦x(ln x−1) دالة أصلية للدالة h:x↦ln x على ]0,+∞[ ثم بين أن ∫1eln x dx=1.0.75
4. b)باستعمال مكاملة بالأجزاء، بين أن: ∫1e(ln x)2 dx=e−2.0.5
4. c)بين أن مساحة حيز المستوى المحصور بين (C) ومحور الأفاصيل و المستقيمين اللذين معادلتاهما x=1 و x=e هي 13(e3−6e+8) cm2.0.5