Sujet national
National 2013 · PC · SVT · session normale
NS22 · 3 heures · Mathématiques · PC/SVT
Exercice 1 — Géométrie dans l'espace
3 pt(s)
On considère, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct (O,i,j,k), les points A(−1,1,0), B(1,0,1) et Ω(1,1,−1), et la sphère (S) de centre Ω et de rayon 3.
1. a)Montrer que OA∧OB=i+j−k et vérifier que x+y−z=0 est une équation cartésienne du plan (OAB).1
1. b)Vérifier que d(Ω,(OAB))=√3 puis montrer que (OAB) coupe la sphère (S) suivant un cercle (Γ) de rayon √6.1
2. a)Soit (Δ) la droite passant par le point Ω et perpendiculaire au plan (OAB). Montrer que x=1+ty=1+tz=−1−t ; (t∈ℝ) est une représentation paramétrique de la droite (Δ).0.5
2. b)Déterminer le triplet de coordonnées du centre du cercle (Γ).0.5
Exercice 2 — Nombres complexes
3 pt(s)
On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v), les points A, B et C dont les affixes sont respectivement a=7+2i, b=4+8i et c=−2+5i.
1. a)Vérifier que (1+i)(−3+6i)=−9+3i et montrer que c−ab−a=1+i.0.75
1. b)En déduire que AC=AB√2 et donner une mesure de l'angle orienté (AB,AC).1
2. a)Soit R la rotation de centre B et d'angle π2. Montrer que l'affixe d du point D, image du point A par la rotation R, est d=10+11i.0.75
2. b)Calculer d−cb−c et en déduire que les points B, C et D sont alignés.0.5
Exercice 3 — Calcul des probabilités
3 pt(s)
Une boîte contient 10 boules : cinq boules rouges, trois boules vertes et deux boules blanches (indiscernables au toucher). On tire au hasard et simultanément quatre boules de la boîte.
1.On considère les deux événements suivants : A : « obtenir deux boules rouges et deux boules vertes » et B : « il n'y a aucune boule blanche parmi les quatre boules tirées ». Montrer que P(A)=17 et P(B)=13.1.5
2. a)Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules blanches tirées. Vérifier que les valeurs prises par la variable aléatoire X sont 0, 1 et 2.0.25
2. b)Montrer que P(X=1)=815 puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X.1.25
Exercice 4 — Analyse
3 pt(s)
Soit (un)n∈ℕ* la suite numérique définie par : u1=0 et un+1=2510−un pour tout n de ℕ*.
1.Vérifier que 5−un+1=5(5−un)5+(5−un) pour tout n de ℕ* et montrer par récurrence que 5−un>0 pour tout n de ℕ*.1
2. a)On considère la suite numérique (vn)n∈ℕ* définie par : vn=55−un pour tout n de ℕ*. Montrer que vn+1=10−un5−un pour tout n de ℕ* puis vérifier que vn+1−vn=1 pour tout n de ℕ*.0.75
2. b)Montrer que vn=n pour tout n de ℕ* et en déduire que un=5−5n pour tout n de ℕ*.1
2. c)Déterminer limn→+∞un.0.25
Exercice 5 — Analyse
8 pt(s)
On considère la fonction numérique f définie sur ℝ par : f(x)=(x−2)2ex. Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O,i,j) (unité : 1 cm).
1. a)Montrer que limx→+∞f(x)=+∞.0.25
1. b)Montrer que limx→+∞f(x)x=+∞ puis en déduire que la courbe (C) admet, au voisinage de +∞, une branche parabolique dont on déterminera la direction.0.5
2. a)Vérifier que f(x)=x2ex−4xex+4ex pour tout x de ℝ.0.25
2. b)Montrer que limx→−∞f(x)=0 et interpréter géométriquement ce résultat (on rappelle que limx→−∞xnex=0 pour tout n de ℕ*).0.5
3. a)Montrer que f′(x)=x(x−2)ex pour tout x de ℝ.0.75
3. b)Montrer que la fonction f est croissante sur chacun des deux intervalles ]−∞,0] et [2,+∞[ et que la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0,2].1
3. c)Dresser le tableau de variations de la fonction f sur ℝ.0.5
4. a)Montrer que f″(x)=(x2−2)ex pour tout x de ℝ puis en déduire que la courbe (C) admet deux points d'inflexion dont la détermination des ordonnées n'est pas demandée.1
4. b)Construire (C) dans le repère (O,i,j).1
5. a)Montrer que H : x↦(x−1)ex est une fonction primitive de la fonction h : x↦xex sur ℝ puis calculer ∫01xex dx.0.5
5. b)En utilisant une intégration par parties, montrer que : ∫01x2ex dx=e−2.0.75
5. c)Montrer que l'aire de la portion de plan comprise entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x=0 et x=1 est 5(e−2) cm2.0.5
6.Utiliser la courbe (C) pour donner le nombre de solutions de l'équation : x2=e−x+4x−4, x∈ℝ.0.5